Um lote de 12 peças contém 4 defeituosas. Retiram-se 3 peças sem reposição. Qual a probabilidade de que exatamente 1 seja defeituosa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Total de peças no lote:
. - Número de peças defeituosas:
. - Número de peças não defeituosas:
. - Número de peças retiradas sem reposição:
. - Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente
das peças retiradas seja defeituosa?
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática).\n
Como a retirada é feita sem reposição, as retiradas não são independentes e o espaço amostral é naturalmente contado por combinações (todas as amostras de peças dentre
são igualmente prováveis). Portanto é conveniente usar contagem combinatória: contar quantas escolhas de
peças há no total e quantas dessas têm exatamente
defeituosa.\n
Vou usar a fórmula de combinação: para inteiros ,
Como a retirada é feita sem reposição, as retiradas não são independentes e o espaço amostral é naturalmente contado por combinações (todas as amostras de
Vou usar a fórmula de combinação: para inteiros
onde
é o fatorial de
(produto
).\n
Interpretação prática: é o número de maneiras de escolher
itens dentre
sem ordem. Exemplo rápido:
.
Interpretação prática:
Passo 3
Calcular o número total de maneiras de escolher
peças dentre as
.\n
O total de amostras possíveis é
O total de amostras possíveis é
Passo 4
Calcular o número de maneiras favoráveis (exatamente
defeituosa).\n
Para ter exatamente defeituosa e
não defeituosas devemos escolher
das
defeituosas e
das
boas. Pelo princípio multiplicativo:
Para ter exatamente
Calcule cada combinação:
Logo
Passo 5
Calcular a probabilidade como razão entre favoráveis e total.\n
Simplificando a fração dividindo por
:
Passo 6
Verificação por um método alternativo (sequencial) — serve para entendimento.\n
Escolha uma ordem específica, por exemplo: defeituosa na primeira retirada e não defeituosas nas 2 seguintes. A probabilidade dessa ordem é
Escolha uma ordem específica, por exemplo: defeituosa na primeira retirada e não defeituosas nas 2 seguintes. A probabilidade dessa ordem é
Há
posições (primeira, segunda ou terceira) em que a única defeituosa pode aparecer, todas com a mesma probabilidade, então multiplicamos por
:
o que confirma o resultado encontrado por contagem.