Um lote de 12 peças contém 4 defeituosas. Retiram-se 3 peças sem reposição. Qual a probabilidade de que exatamente 1 seja defeituosa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Total de peças no lote: 12.
  • Número de peças defeituosas: 4.
  • Número de peças não defeituosas: 12-4=8.
  • Número de peças retiradas sem reposição: 3.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente 1 das 3 peças retiradas seja defeituosa?

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática).\n
Como a retirada é feita sem reposição, as retiradas não são independentes e o espaço amostral é naturalmente contado por combinações (todas as amostras de 3 peças dentre 12 são igualmente prováveis). Portanto é conveniente usar contagem combinatória: contar quantas escolhas de 3 peças há no total e quantas dessas têm exatamente 1 defeituosa.\n
Vou usar a fórmula de combinação: para inteiros n\ge k\ge0,
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! é o fatorial de n (produto n\cdot(n-1)\cdots1).\n
Interpretação prática: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k itens dentre n sem ordem. Exemplo rápido: \binom{8}{2}=\dfrac{8\cdot7}{2\cdot1}=28.

Passo 3

Calcular o número total de maneiras de escolher 3 peças dentre as 12.\n
O total de amostras possíveis é
\binom{12}{3}=\frac{12\cdot11\cdot10}{3\cdot2\cdot1}=220.

Passo 4

Calcular o número de maneiras favoráveis (exatamente 1 defeituosa).\n
Para ter exatamente 1 defeituosa e 2 não defeituosas devemos escolher 1 das 4 defeituosas e 2 das 8 boas. Pelo princípio multiplicativo:
\text{favoráveis}=\binom{4}{1}\binom{8}{2}.á
Calcule cada combinação:
\binom{4}{1}=4,\qquad \binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28.
Logo
\text{favoráveis}=4\cdot28=112.á

Passo 5

Calcular a probabilidade como razão entre favoráveis e total.\n
P(\text{exatamente }1\\ \text{defeituosa})=\frac{112}{220}.
Simplificando a fração dividindo por 4:
\frac{112}{220}=\frac{28}{55}\approx0,50909\ldots

Passo 6

Verificação por um método alternativo (sequencial) — serve para entendimento.\n
Escolha uma ordem específica, por exemplo: defeituosa na primeira retirada e não defeituosas nas 2 seguintes. A probabilidade dessa ordem é
\frac{4}{12}\cdot\frac{8}{11}\cdot\frac{7}{10}.
3 posições (primeira, segunda ou terceira) em que a única defeituosa pode aparecer, todas com a mesma probabilidade, então multiplicamos por 3:
3\cdot\frac{4}{12}\cdot\frac{8}{11}\cdot\frac{7}{10}=\frac{28}{55},
o que confirma o resultado encontrado por contagem.

Resposta

\dfrac{28}{55} \approx 0,50909

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