Seja X \sim \operatorname{Bin}(10,0,4).
  1. Calcule P(X=4).
  2. Calcule P(X \leq 3).

Passo 1

Identificar o que o enunciado pede e quais dados nos deu.
  • Temos uma variável aleatória X com distribuição binomial com n=10 e p=0,4, isto é X\sim\operatorname{Bin}(10,0,4).
  • Perguntas:
    1. Calcular P(X=4).
    2. Calcular P(X\leq 3).

Passo 2

Relembrar a fórmula da distribuição binomial (o que significa e como usar).
A probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso em cada ensaio é dada por
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de combinações de n elementos tomados k a k e vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui n=10, p=0,4 e 1-p=0,6. Vamos aplicar a fórmula para cada pedido.

Passo 3

Calcular P(X=4) aplicando a fórmula com k=4:
P(X=4)=\binom{10}{4}(0,4)^4(0,6)^6.
Calcular \binom{10}{4}:
\binom{10}{4}=\frac{10!}{4!6!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210.
Calcular as potências:
(0,4)^4=0,4^4=0,0256, \qquad (0,6)^6=0,6^6=0,046656.
Multiplicando:
P(X=4)=210\times 0,0256\times 0,046656.
Fazendo as contas passo a passo:
0,0256\times 0,046656=0,0011943936,
210\times 0,0011943936=0,250822656.
Portanto P(X=4)\approx 0,250822656 (arredondando, 0,2508).

Passo 4

Calcular P(X\leq 3). Como a distribuição é discreta, somamos as probabilidades de k=0,1,2,3:
P(X\leq 3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}(0,4)^k(0,6)^{10-k}.
Vamos calcular cada termo separadamente e depois somar.

Passo 5

Termo k=0:
\binom{10}{0}=1,\qquad (0,4)^0=1,\qquad (0,6)^{10}=0,6^{10}=0,0060466176.
Logo
P(X=0)=1\times 1\times 0,0060466176=0,0060466176.

Passo 6

Termo k=1:
\binom{10}{1}=10,\qquad (0,4)^1=0,4,\qquad (0,6)^9=0,010077696.
Logo
P(X=1)=10\times 0,4\times 0,010077696=0,040310784.

Passo 7

Termo k=2:
\binom{10}{2}=45,\qquad (0,4)^2=0,16,\qquad (0,6)^8=0,01679616.
Logo
P(X=2)=45\times 0,16\times 0,01679616.
Calculemos:
0,16\times 0,01679616=0,0026873856,
45\times 0,0026873856=0,120932352.

Passo 8

Termo k=3:
\binom{10}{3}=120,\qquad (0,4)^3=0,064,\qquad (0,6)^7=0,0279936.
Logo
P(X=3)=120\times 0,064\times 0,0279936.
Calculemos:
0,064\times 0,0279936=0,0017915904,
120\times 0,0017915904=0,214990848.

Passo 9

Somar os quatro termos para obter P(X\leq 3):
P(X\leq 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3).
Substituindo os valores:
P(X\leq 3)=0,0060466176+0,040310784+0,120932352+0,214990848.
Somando:
P(X\leq 3)=0,3822806016.
Arredondando, P(X\leq 3)\approx 0,3823.

Resposta

P(X=4)=\binom{10}{4}(0,4)^4(0,6)^6=0,250822656
P(X\leq 3)=\displaystyle\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}(0,4)^k(0,6)^{10-k}=0,3822806016

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