Ao ser retirado do forno o bloco cerâmico tende a trocar o calor com o ambiente, logo se a temperatura do ambiente é de 20ºC e a temperatura do bloco cai em 20 minutos de 100 ºC a 60 ºC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30 ºC?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como um bloco cerâmico esfria quando tirado do forno. A temperatura ambiente é de 20ºC, e a temperatura do bloco cai de 100ºC para 60ºC em 20 minutos. Queremos descobrir quanto tempo leva para a temperatura do bloco chegar a 30ºC. Vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que ajuda a entender como objetos trocam calor com o ambiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como funciona a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula é:
dTdt = -k(T - Tamb)
Onde:
  • $ T $ é a temperatura do objeto no tempo $ t $
  • $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente
  • $ k $ é a constante de resfriamento

Passo 3

Vamos resolver a equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
dTT - Tamb = -k , dt
Agora, integramos ambos os lados:
ln|T - Tamb| = -kt + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Vamos reescrever a equação para resolver $ T $:
T
Então:
T - Tamb = Ce^-kt

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar a constante $ C $. No tempo $ t = 0 $, a temperatura $ T = 100^\circ C $:
C
t = 0
T = 100^circ C
Então, nossa equação fica:
100 = 20 + C e^-k cdot 0

Passo 6

Sabemos que a 20 minutos ($ t = 20 $), a temperatura cai para 60ºC:
t = 20
60 = 20 + 80e^-k cdot 20
40 = 80e^-20k
4080 = e^-20k

Passo 7

Vamos resolver para $ k $ tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
k
ln(0,5) = -20k
-0,6931 = -20k
k = 0,693120

Passo 8

Agora que temos $ k $, vamos achar o tempo $ t $ para a temperatura chegar a 30ºC:
k
t
30 = 20 + 80e^-0,03466t
10 = 80e^-0,03466t

Passo 9

Novamente, tiramos o logaritmo natural para resolver $ t $:
t
ln(0,125) = -0,03466t
-2,0794 = -0,03466t
t = 2,07940,03466

Resposta

A temperatura do bloco cairá para 30 °C em aproximadamente 60 minutos.

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