Ao ser retirado do forno o bloco cerâmico tende a trocar o calor com o ambiente, logo se a temperatura do ambiente é de 20ºC e a temperatura do bloco cai em 20 minutos de 100 ºC a 60 ºC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30 ºC?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como um bloco cerâmico esfria quando tirado do forno. A temperatura ambiente é de 20ºC, e a temperatura do bloco cai de 100ºC para 60ºC em 20 minutos. Queremos descobrir quanto tempo leva para a temperatura do bloco chegar a 30ºC. Vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que ajuda a entender como objetos trocam calor com o ambiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como funciona a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula é:
Onde:
- $ T $ é a temperatura do objeto no tempo $ t $
- $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente
- $ k $ é a constante de resfriamento
Passo 3
Vamos resolver a equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
Agora, integramos ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Vamos reescrever a equação para resolver $ T $:
Então:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar a constante $ C $. No tempo $ t = 0 $, a temperatura $ T = 100^\circ C $:
Então, nossa equação fica:
Passo 6
Sabemos que a 20 minutos ($ t = 20 $), a temperatura cai para 60ºC:
Passo 7
Vamos resolver para $ k $ tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 8
Agora que temos $ k $, vamos achar o tempo $ t $ para a temperatura chegar a 30ºC:
Passo 9
Novamente, tiramos o logaritmo natural para resolver $ t $:
Resposta
A temperatura do bloco cairá para 30 °C em aproximadamente 60 minutos.