1- Em um lote de 14 peças, existem 4 peças com defeito. Uma peça é extraída, testada, e devolvida ao lote. O procedimento é realizado 3 vezes. Determine a distribuiçao de probabilidade do n^circ de vezes de peças verificadas com defeito.

Passo 1

O enunciado diz que temos um lote de 14 peças, sendo 4 defeituosas. Extraímos uma peça, anotamos se ela é defeituosa e a devolvemos ao lote; repetimos isso 3 vezes. O que pedem é a distribuição de probabilidade do número de vezes em que foi encontrada uma peça defeituosa. O conteúdo que vamos usar é a distribuição binomial, pois são ensaios independentes com mesma probabilidade de “sucesso” (defeito) em cada extração.

Passo 2

Como cada extração devolve a peça ao lote, as extrações são independentes e a probabilidade de obter defeito em cada uma é sempre a mesma. Logo, se denotarmos por X o número de extrações com defeito em 3 testes, então
X sim Binomial(n=3,;p),
onde p é a probabilidade de tirar uma peça defeituosa em um teste.

Passo 3

A probabilidade de tirar uma peça defeituosa em um único teste é
p = número de defeituosastotal de peças = 414 = 27 úç
E a probabilidade de não defeito é 1-p = tfrac57

Passo 4

Para uma variável binomial, a função massa de probabilidade é
P(X = k) = binom3k,p^k,(1-p)^3-k,
com k = 0,1,2,3. Substituindo p = tfrac27 e 1-p = tfrac57, temos
P(X = k) = binom3kl(tfrac27r)^kl(tfrac57r)^3-k

Passo 5

Agora calculamos cada termo:
P(X=0) = binom30l(tfrac27r)^0l(tfrac57r)^3 = 125343,
P(X=1) = binom31l(tfrac27r)^1l(tfrac57r)^2 = 150343,
P(X=2) = binom32l(tfrac27r)^2l(tfrac57r)^1 = 60343,
P(X=3) = binom33l(tfrac27r)^3l(tfrac57r)^0 = 8343

Resposta

XsimBinomial(3,tfrac27) com
P(X=0)=tfrac125343, P(X=1)=tfrac150343, P(X=2)=tfrac60343, P(X=3)=tfrac8343

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