Prove pelo princípio da indução matemática que o termo geral da progressão:
aritmética é an=a1+(n-1) r

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o princípio da indução matemática, que se (an) é uma progressão aritmética com primeiro termo a1 e razão r, ou seja, satisfaz
an+1=an + r
para todo n>=1, então o termo geral é
an=a1+(n-1),r
O conteúdo é indução em sequências definidas por recorrência.

Passo 2

Base da indução ( n=1). Precisamos verificar que a fórmula dá certo para n=1. De fato,
a1 = a1 + (1-1),r = a1 + 0 = a1
Logo, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para algum k>=1 já estejamos seguros de que
ak = a1 + (k-1),r

Passo 4

Passo de indução. Usando a definição de progressão aritmética, temos
ak+1 = ak + r
Pela hipótese de indução substituímos ak:
ak+1 = l(a1 + (k-1),rr) + r = a1 + l((k-1)+1r),r = a1 + k,r
Mas k,r = ( (k+1)-1),r, logo
ak+1 = a1 + l((k+1)-1r),r,
ou seja, a fórmula vale também para n=k+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a fórmula
an = a1 + (n-1),r
é verdadeira para todo inteiro n>=1.

Resposta

Foi provado que o termo geral de uma progressão aritmética de primeiro termo a1 e razão r é
boxedan = a1 + (n-1),r

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