Prove pelo princípio da indução matemática que o termo geral da progressão:
aritmética é
aritmética é
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando o princípio da indução matemática, que se
é uma progressão aritmética com primeiro termo
e razão
, ou seja, satisfaz
para todo
, então o termo geral é
O conteúdo é indução em sequências definidas por recorrência.
Passo 2
Base da indução (
). Precisamos verificar que a fórmula dá certo para
. De fato,
Logo, a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que para algum
já estejamos seguros de que
Passo 4
Passo de indução. Usando a definição de progressão aritmética, temos
Pela hipótese de indução substituímos
:
Mas
, logo
ou seja, a fórmula vale também para
.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, a fórmula
é verdadeira para todo inteiro
.
Resposta
Foi provado que o termo geral de uma progressão aritmética de primeiro termo
e razão
é