Prove pelo princípio da indução matemática que o termo geral da progressão:
geométrica é
geométrica é
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado pede e o que vamos usar. Temos uma sequência geométrica cujo primeiro termo é
e que satisfaz, para todo
,
Queremos provar, por indução matemática, que o termo geral dessa sequência é
Passo 2
Caso base (
). Temos que verificar que a fórmula funciona para
. De fato,
Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que, para algum
, já valha
Passo 4
Passo indutivo. Precisamos mostrar que a fórmula vale para
, isto é,
Mas pela definição da sequência geométrica temos
Substituindo a hipótese de indução:
como queríamos.
Resposta
Pela hipótese de indução, concluímos que para todo