Prove pelo princípio da indução matemática que o termo geral da progressão:
geométrica é an=a1 q^n-1

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado pede e o que vamos usar. Temos uma sequência geométrica cujo primeiro termo é a1 e que satisfaz, para todo n>=2,
an=q,an-1
Queremos provar, por indução matemática, que o termo geral dessa sequência é
an=a1,q^,n-1

Passo 2

Caso base ( n=1). Temos que verificar que a fórmula funciona para n=1. De fato,
a1stackrel?=a1,q^1-1=a1,q^0=a1
Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para algum k>=1, já valha
ak=a1,q^,k-1

Passo 4

Passo indutivo. Precisamos mostrar que a fórmula vale para n=k+1, isto é,
ak+1=a1,q^,k
Mas pela definição da sequência geométrica temos
ak+1=q,ak
Substituindo a hipótese de indução:
ak+1=qcdotl(a1,q^,k-1r)=a1,q^,k-1+1=a1,q^,k,
como queríamos.

Resposta

Pela hipótese de indução, concluímos que para todo n>=1
an=a1,q^,n-1

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