Use o princípio da indução matemática para provar as desigualdades:
, para todo
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que
para todo
. Vamos estruturar a prova no esquema clássico: base de indução e passo indutivo.
Passo 2
(Base de indução) Para
temos
Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
(Passo indutivo) Suponha que para algum
seja verdade
Queremos mostrar que isso implica
Note que
Passo 4
Basta então provar que
Somando as duas últimas frações em bloco:
Comparando com
, temos a equivalência
Mas
Logo o termo extra é positivo, e segue
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para todo
por indução matemática.