Use o princípio da indução matemática para provar as desigualdades:
1n+1+1n+2+1n+3+cdots+12 n>1324, para todo n>1

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que
S(n)=sumk=n+1^2n1k>1324,
para todo n>1. Vamos estruturar a prova no esquema clássico: base de indução e passo indutivo.

Passo 2

(Base de indução) Para n=2 temos
S(2)=13+14=712=1424>1324
Logo, a propriedade vale para n=2.

Passo 3

(Passo indutivo) Suponha que para algum n>=2 seja verdade
S(n)=sumk=n+1^2n1k>1324
Queremos mostrar que isso implica
S(n+1)=sumk=n+2^2n+21k>1324
Note que
S(n+1) =sumk=n+2^2n+21k =sumk=n+1^2n1k -1n+1 +12n+1 +12n+2 = S(n);-;1n+1 +12n+1 +12n+2

Passo 4

Basta então provar que
-1n+1+12n+1+12n+2>0
Somando as duas últimas frações em bloco:
12n+1+12n+2 =(2n+2)+(2n+1)(2n+1)(2n+2) =4n+3(2n+1)(2n+2)
Comparando com tfrac1n+1, temos a equivalência
4n+3(2n+1)(2n+2)>1n+1 Long<=ftrightarrow (4n+3)(n+1)>(2n+1)(2n+2)
Mas
(4n+3)(n+1)-(2n+1)(2n+2) =4n^2+7n+3-l(4n^2+6n+2r) =n+1>0
Logo o termo extra é positivo, e segue
S(n+1)>S(n)+0>1324

Resposta

A desigualdade
sumk=n+1^2n1k>1324
é verdadeira para todo n>1 por indução matemática.

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