De um lote de 200 peças, sendo 180 boas e 20 defeituosas, 10 peças são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de:
As 10 peças serem defeituosas

Passo 1

O enunciado dá: um lote com 200 peças, das quais 180 são boas e 20 são defeituosas. Selecionam-se 10 peças ao acaso, sem reposição.
A pergunta é: qual a probabilidade de que as 10 peças selecionadas sejam todas defeituosas?

Passo 2

Vamos traduzir o pedido em termos práticos: estamos fazendo uma amostragem sem reposição, onde todas as escolhas de subconjuntos de 10 peças têm a mesma chance. Assim, podemos resolver contando quantos subconjuntos favoráveis existem (todos os 10 serem defeituosos) e dividir pelo número total de subconjuntos possíveis. Essa é a forma clássica de raciocinar em problemas de contagem de probabilidade — daí vem a fórmula que vamos usar.

Passo 3

Explicando a ferramenta que usaremos: combinação.
A combinação \binom{n}{k} (lê‑se “ n escolhe k”) conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher k itens dentre n, sem ordem. A definição é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Exemplo rápido: \binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!3!}=\dfrac{120}{2\cdot6}=10, ou seja, há 10 pares distintos em um conjunto de 5 elementos.

Passo 4

Aplicando à nossa contagem: o número total de maneiras de escolher 10 peças entre as 200 é
\binom{200}{10}.
O número de maneiras favoráveis (escolher 10 defeituosas entre as 20 defeituosas) é
\binom{20}{10}
pois não escolhemos nenhuma boa. Portanto a probabilidade pedida é
P=\frac{\binom{20}{10}}{\binom{200}{10}}.
Esse é o resultado exato em termos de combinações (forma combinatória / hipergeométrica).

Passo 5

Uma maneira alternativa, mas equivalente e útil na prova sem usar diretamente combinações, é pensar em probabilidades sucessivas sem reposição: a probabilidade de a 1ª peça ser defeituosa é \dfrac{20}{200}; dada essa escolha, a probabilidade de a 2ª também ser defeituosa é \dfrac{19}{199}; e assim por diante até a 10ª, que tem probabilidade \dfrac{11}{191}. Multiplicando esses fatores obtemos a mesma probabilidade:
P=\prod_{i=0}^{9}\frac{20-i}{200-i}=\frac{20}{200}\cdot\frac{19}{199}\cdot\frac{18}{198}\cdot\cdots\cdot\frac{11}{191}.
Essa forma é prática para cálculos por etapas e mostra bem a lógica “sem reposição”.

Passo 6

Vou calcular o produto passo a passo (faço as multiplicações em sequência e dou os valores aproximados para cada etapa, assim você pode reproduzir à mão se precisar):
  1. \dfrac{20}{200}=0{,}1.
  2. Multiplicando pelo segundo fator: 0{,}1\cdot\dfrac{19}{199}\approx 0{,}1\cdot0{,}0954773869=0{,}0095477387.
  3. Multiplicando pelo terceiro fator: 0{,}0095477387\cdot\dfrac{18}{198}=0{,}0095477387\cdot0{,}0909090909\approx0{,}0008688863.
  4. Pelo quarto: 0{,}0008688863\cdot\dfrac{17}{197}\approx0{,}0008688863\cdot0{,}0862944162\approx0{,}0000749360.
  5. Pelo quinto: 0{,}0000749360\cdot\dfrac{16}{196}=0{,}0000749360\cdot0{,}0816326531\approx0{,}0000061197.
  6. Pelo sexto: 0{,}0000061197\cdot\dfrac{15}{195}=0{,}0000061197\cdot0{,}0769230769\approx0{,}0000004707.
  7. Pelo sétimo: 0{,}0000004707\cdot\dfrac{14}{194}\approx0{,}0000004707\cdot0{,}0721649485\approx0{,}00000003397.
  8. Pelo oitavo: 0{,}00000003397\cdot\dfrac{13}{193}\approx0{,}00000003397\cdot0{,}067362572\approx0{,}0000000022876.
  9. Pelo nono: 0{,}0000000022876\cdot\dfrac{12}{192}=0{,}0000000022876\cdot0{,}0625\approx0{,}00000000014298.
  10. Pelo décimo: 0{,}00000000014298\cdot\dfrac{11}{191}\approx0{,}00000000014298\cdot0{,}057593985\approx0{,}0000000000082399.
Arredondando em notação conveniente, isso dá aproximadamente 8{,}24\times10^{-12}. Essas etapas mostram como fazer sem calculadora: calcule cada fator \dfrac{20-i}{200-i} e vá multiplicando, mantendo algumas casas decimais.

Passo 7

Conclusão e interpretação: a probabilidade de tirar 10 defeituosas numa amostra de 10 quando só há 20 defeituosas em 200 é extremamente pequena — do ordem de 10^{-11}. A expressão exata em combinações é a forma elegante e correta; o produto sucessivo é a forma prática para cálculo manual.

Resposta

\displaystyle P=\frac{\binom{20}{10}}{\binom{200}{10}}\approx 8{,}24\times10^{-12}

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