De um lote de 200 peças, sendo 180 boas e 20 defeituosas, 10 peças são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de:
As 10 peças serem defeituosas
As 10 peças serem defeituosas
Passo 1
O enunciado dá: um lote com
peças, das quais
são boas e
são defeituosas. Selecionam-se
peças ao acaso, sem reposição.
A pergunta é: qual a probabilidade de que as peças selecionadas sejam todas defeituosas?
A pergunta é: qual a probabilidade de que as
Passo 2
Vamos traduzir o pedido em termos práticos: estamos fazendo uma amostragem sem reposição, onde todas as escolhas de subconjuntos de
peças têm a mesma chance. Assim, podemos resolver contando quantos subconjuntos favoráveis existem (todos os
serem defeituosos) e dividir pelo número total de subconjuntos possíveis. Essa é a forma clássica de raciocinar em problemas de contagem de probabilidade — daí vem a fórmula que vamos usar.
Passo 3
Explicando a ferramenta que usaremos: combinação.
A combinação (lê‑se “
escolhe
”) conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher
itens dentre
, sem ordem. A definição é
A combinação
onde
(fatorial) é
. Exemplo rápido:
, ou seja, há 10 pares distintos em um conjunto de 5 elementos.
Passo 4
Aplicando à nossa contagem: o número total de maneiras de escolher
peças entre as
é
O número de maneiras favoráveis (escolher
defeituosas entre as
defeituosas) é
pois não escolhemos nenhuma boa. Portanto a probabilidade pedida é
Esse é o resultado exato em termos de combinações (forma combinatória / hipergeométrica).
Passo 5
Uma maneira alternativa, mas equivalente e útil na prova sem usar diretamente combinações, é pensar em probabilidades sucessivas sem reposição: a probabilidade de a 1ª peça ser defeituosa é
; dada essa escolha, a probabilidade de a 2ª também ser defeituosa é
; e assim por diante até a 10ª, que tem probabilidade
. Multiplicando esses fatores obtemos a mesma probabilidade:
Essa forma é prática para cálculos por etapas e mostra bem a lógica “sem reposição”.
Passo 6
Vou calcular o produto passo a passo (faço as multiplicações em sequência e dou os valores aproximados para cada etapa, assim você pode reproduzir à mão se precisar):
-
- Multiplicando pelo segundo fator:
- Multiplicando pelo terceiro fator:
- Pelo quarto:
- Pelo quinto:
- Pelo sexto:
- Pelo sétimo:
- Pelo oitavo:
- Pelo nono:
- Pelo décimo:
Arredondando em notação conveniente, isso dá aproximadamente
. Essas etapas mostram como fazer sem calculadora: calcule cada fator
e vá multiplicando, mantendo algumas casas decimais.
Passo 7
Conclusão e interpretação: a probabilidade de tirar
defeituosas numa amostra de
quando só há
defeituosas em
é extremamente pequena — do ordem de
. A expressão exata em combinações é a forma elegante e correta; o produto sucessivo é a forma prática para cálculo manual.