De um lote de 200 peças, sendo 180 boas e 20 defeituosas, 10 peças são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de:
5 peças serem boas e 5 defeituosas

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao selecionar sem reposição 10 peças de um lote de 200 peças (sendo 180 boas e 20 defeituosas), obter exatamente 5 peças boas e 5 peças defeituosas. Informações dadas:
\;200 peças no total;
\;180 peças boas;
\;20 peças defeituosas;
amostra de tamanho \;10 sem reposição;
evento pedido: exatamente \;5 boas e \;5 defeituosas.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): para problemas de seleção sem reposição contamos “jeitos” diferentes de escolher peças e usamos a razão entre os jeitos favoráveis e os jeitos possíveis. A contagem de jeitos sem importar ordem é feita com combinações. Vou explicar a combinação e por que ela serve aqui.
A combinação \binom{n}{k} (lê‑se “n escolhe k”) conta de quantas maneiras podemos escolher k objetos diferentes dentre n, quando a ordem não importa. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 2\cdot1. Ex.: \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.

Passo 3

Contando os jeitos:
  • Jeitos de escolher exatamente 5 peças boas dentre as \;180 boas: \binom{180}{5}.
  • Jeitos de escolher exatamente 5 peças defeituosas dentre as \;20 defeituosas: \binom{20}{5}.
    Como essas escolhas são independentes entre si (escolhemos 5 boas e 5 defeituosas), o número de jeitos favoráveis é o produto
\binom{180}{5}\cdot\binom{20}{5}.
O total de jeitos possíveis de escolher 10 peças dentre 200 (sem reposição, ordem não importa) é
\binom{200}{10}.
Portanto a probabilidade pedida é dada pela razão:
\frac{\binom{180}{5}\,\binom{20}{5}}{\binom{200}{10}}.

Passo 4

Explicação intuitiva (método alternativo equivalente, útil para entender): pense em tirar as 10 peças em sequência sem reposição. A probabilidade de uma sequência específica com exatamente 5 boas e 5 defeituosas (por exemplo, B B B B B D D D D D) é o produto das probabilidades condicionais:
\frac{180}{200}\cdot\frac{179}{199}\cdot\frac{178}{198}\cdot\frac{177}{197}\cdot\frac{176}{196}\cdot\frac{20}{195}\cdot\frac{19}{194}\cdot\frac{18}{193}\cdot\frac{17}{192}\cdot\frac{16}{191}.
Como a ordem dos 5 boas e 5 defeituosas pode variar, multiplicamos por \binom{10}{5} (número de posições para as 5 boas), e obtemos exatamente a mesma expressão que em combinações. Isso mostra que a fórmula do passo anterior está coerente.

Passo 5

Transformando a expressão para uma forma prática de cálculo (explico como fazer sem usar fatorial gigante): usar a identidade
\frac{\binom{180}{5}\binom{20}{5}}{\binom{200}{10}} =\binom{10}{5}\cdot\frac{180\cdot179\cdot178\cdot177\cdot176\;\cdot\;20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16} {200\cdot199\cdot198\cdot197\cdot196\cdot195\cdot194\cdot193\cdot192\cdot191}.
Note que \dfrac{10!}{5!\,5!}=\binom{10}{5}=252. Para simplificar na prova, você pode reduzir termos par a par:
\dfrac{180}{200}=\dfrac{9}{10}, \dfrac{178}{198}=\dfrac{89}{99}, \dfrac{176}{196}=\dfrac{44}{49}, \dfrac{20}{195}=\dfrac{4}{39}, etc. Isso deixa produtos menores para multiplicar manualmente ou para calcular com uma calculadora simples.

Passo 6

Cálculo aproximado (resultado numérico): avaliando a expressão dá
\frac{\binom{180}{5}\,\binom{20}{5}}{\binom{200}{10}}\approx 0{,}001028.
Em termos percentuais isso é aproximadamente 0{,}1028\%. (Interpretação rápida: o número de defeituosas no lote é pequeno \,20/200=0{,}1, a média esperada de defeituosas na amostra de 10 é 1, portanto obter exatamente 5 defeituosas é um evento raro — daí o valor pequeno.)

Passo 7

Resumo prático que você pode escrever na prova: mostre a contagem com combinações, explique brevemente porque o numerador é produto de duas combinações e o denominador é \binom{200}{10}, e, se pedirem valor numérico, escreva a fração exata e a aproximação.

Resposta

\frac{\binom{180}{5}\,\binom{20}{5}}{\binom{200}{10}}\approx 0{,}001028

Exercícios relacionados