De um lote de 200 peças, sendo 180 boas e 20 defeituosas, 10 peças são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de:
5 peças serem boas e 5 defeituosas
5 peças serem boas e 5 defeituosas
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de, ao selecionar sem reposição
peças de um lote de
peças (sendo
boas e
defeituosas), obter exatamente
peças boas e
peças defeituosas. Informações dadas:
peças no total;
peças boas;
peças defeituosas;
amostra de tamanho sem reposição;
evento pedido: exatamente boas e
defeituosas.
amostra de tamanho
evento pedido: exatamente
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): para problemas de seleção sem reposição contamos “jeitos” diferentes de escolher peças e usamos a razão entre os jeitos favoráveis e os jeitos possíveis. A contagem de jeitos sem importar ordem é feita com combinações. Vou explicar a combinação e por que ela serve aqui.
A combinação
(lê‑se “n escolhe k”) conta de quantas maneiras podemos escolher
objetos diferentes dentre
, quando a ordem não importa. A fórmula é
onde
(fatorial) significa
. Ex.:
.
Passo 3
Contando os jeitos:
- Jeitos de escolher exatamente
peças boas dentre as boas: . - Jeitos de escolher exatamente
peças defeituosas dentre as defeituosas: .
Como essas escolhas são independentes entre si (escolhemos 5 boas e 5 defeituosas), o número de jeitos favoráveis é o produto
O total de jeitos possíveis de escolher
peças dentre
(sem reposição, ordem não importa) é
Portanto a probabilidade pedida é dada pela razão:
Passo 4
Explicação intuitiva (método alternativo equivalente, útil para entender): pense em tirar as
peças em sequência sem reposição. A probabilidade de uma sequência específica com exatamente
boas e
defeituosas (por exemplo, B B B B B D D D D D) é o produto das probabilidades condicionais:
Como a ordem dos
boas e
defeituosas pode variar, multiplicamos por
(número de posições para as
boas), e obtemos exatamente a mesma expressão que em combinações. Isso mostra que a fórmula do passo anterior está coerente.
Passo 5
Transformando a expressão para uma forma prática de cálculo (explico como fazer sem usar fatorial gigante): usar a identidade
Note que
. Para simplificar na prova, você pode reduzir termos par a par:
,
,
,
, etc. Isso deixa produtos menores para multiplicar manualmente ou para calcular com uma calculadora simples.
Passo 6
Cálculo aproximado (resultado numérico): avaliando a expressão dá
Em termos percentuais isso é aproximadamente
. (Interpretação rápida: o número de defeituosas no lote é pequeno
, a média esperada de defeituosas na amostra de
é
, portanto obter exatamente
defeituosas é um evento raro — daí o valor pequeno.)
Passo 7
Resumo prático que você pode escrever na prova: mostre a contagem com combinações, explique brevemente porque o numerador é produto de duas combinações e o denominador é
, e, se pedirem valor numérico, escreva a fração exata e a aproximação.