Oito pessoas (entre elas Pedro e Silvia) são dispostas ao acaso numa fila. Qual a probabilidade de:
a) Pedro e Silvia ficarem juntos
b) Pedro e Silvia ficarem separados
a) Pedro e Silvia ficarem juntos
b) Pedro e Silvia ficarem separados
Passo 1
O enunciado: temos
pessoas dispostas ao acaso numa fila, entre elas Pedro e Silvia. Pedem duas probabilidades:
a) a probabilidade de Pedro e Silvia ficarem juntos (ou seja, ocupando posições consecutivas na fila);
b) a probabilidade de Pedro e Silvia ficarem separados (não ocupando posições consecutivas).
a) a probabilidade de Pedro e Silvia ficarem juntos (ou seja, ocupando posições consecutivas na fila);
b) a probabilidade de Pedro e Silvia ficarem separados (não ocupando posições consecutivas).
Informações relevantes dadas:
- Há
pessoas distintas. - Todas as ordenações (permutations) da fila são igualmente prováveis.
- Queremos probabilidades sobre eventos envolvendo Pedro e Silvia.
Passo 2
Definir o espaço amostral (total de ordenações possíveis) e recordar uma ideia básica de contagem.
Fórmula usada: o número de maneiras de ordenar
objetos distintos em fila é dado por
(lê‑se "
fatorial"), definido como
Aqui, o total de ordenações possíveis de
pessoas é
Explicação rápida: pense que para a primeira posição da fila há
opções, para a segunda
restantes, e assim por diante; multiplicando dá
.
Passo 3
Estratégia para a parte (a): contar quantas ordenações têm Pedro e Silvia juntos.
Idéia (muito usada em prova): juntar Pedro e Silvia como se fossem um único bloco. Se os tratamos como um bloco, então temos esse bloco + os outros
indivíduos, totalizando
“objetos” a ordenar. O número de ordens desses
objetos é
.
Mas dentro do bloco Pedro e Silvia podem aparecer em duas ordens possíveis: Pedro à esquerda e Silvia à direita, ou Silvia à esquerda e Pedro à direita. Portanto multiplicamos por
as formas internas do bloco.
Logo o número de ordenações favoráveis ao evento “ficarem juntos” é
Passo 4
Calcular a probabilidade pedida em (a) dividindo favoráveis pelo total:
Simplificamos usando
:
Portanto a probabilidade de Pedro e Silvia ficarem juntos é
.
Passo 5
Verificação alternativa (mesma ideia, contado de outro jeito) — útil para fixar:
- Escolha a posição de Pedro (há
posições possíveis). - Para cada posição de Pedro, conte quantas posições de Silvia fazem com que fiquem juntos:
- Se Pedro estiver em uma das extremidades (posições
ou ) há vizinho possível para Silvia. - Se Pedro estiver em qualquer das
posições do meio (posições a ) há vizinhos possíveis.
- Se Pedro estiver em uma das extremidades (posições
- Assim o total de escolhas de posição relativa Silvia–Pedro que dão adjacência é
. - Para cada dessas escolhas, os outros
persons podem ser permutados de maneiras, dando favoráveis .
Note que, reproduzindo o resultado anterior, confirmando a probabilidade .
Passo 6
Parte (b): probabilidade de Pedro e Silvia ficarem separados.
Usamos a regra do complemento (muito útil em provas): o evento “separados” é o complementar de “juntos”, então
Já achamos
, então
Também dá para contar diretamente: favoráveis separados =
, e dividindo por
dá o mesmo resultado
.
Passo 7
Resumo final e incentivo rápido: a técnica principal é reconhecer quando agrupar elementos como um bloco e usar fatorial para contagem; o complemento é uma mão na roda quando contar direto fica chato. Você fez certo em pedir passo a passo — esses pequenos truques caem sempre nas provas. Vai dar certo!
Resposta
a)
\n
b)
b)