Oito pessoas (entre elas Pedro e Silvia) são dispostas ao acaso numa fila. Qual a probabilidade de:
a) Pedro e Silvia ficarem juntos
b) Pedro e Silvia ficarem separados

Passo 1

O enunciado: temos 8 pessoas dispostas ao acaso numa fila, entre elas Pedro e Silvia. Pedem duas probabilidades:
a) a probabilidade de Pedro e Silvia ficarem juntos (ou seja, ocupando posições consecutivas na fila);
b) a probabilidade de Pedro e Silvia ficarem separados (não ocupando posições consecutivas).
Informações relevantes dadas:
  • 8 pessoas distintas.
  • Todas as ordenações (permutations) da fila são igualmente prováveis.
  • Queremos probabilidades sobre eventos envolvendo Pedro e Silvia.

Passo 2

Definir o espaço amostral (total de ordenações possíveis) e recordar uma ideia básica de contagem.
Fórmula usada: o número de maneiras de ordenar n objetos distintos em fila é dado por n! (lê‑se " n fatorial"), definido como
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Aqui, o total de ordenações possíveis de 8 pessoas é
\text{total} = 8!.
Explicação rápida: pense que para a primeira posição da fila há 8 opções, para a segunda 7 restantes, e assim por diante; multiplicando dá 8!.

Passo 3

Estratégia para a parte (a): contar quantas ordenações têm Pedro e Silvia juntos.
Idéia (muito usada em prova): juntar Pedro e Silvia como se fossem um único bloco. Se os tratamos como um bloco, então temos esse bloco + os outros 6 indivíduos, totalizando 7 “objetos” a ordenar. O número de ordens desses 7 objetos é 7!.
Mas dentro do bloco Pedro e Silvia podem aparecer em duas ordens possíveis: Pedro à esquerda e Silvia à direita, ou Silvia à esquerda e Pedro à direita. Portanto multiplicamos por 2 as formas internas do bloco.
Logo o número de ordenações favoráveis ao evento “ficarem juntos” é
\text{favoráveis\_juntos} = 7!\cdot 2.á

Passo 4

Calcular a probabilidade pedida em (a) dividindo favoráveis pelo total:
P(\text{juntos}) = \frac{7!\cdot 2}{8!}.
Simplificamos usando 8! = 8\cdot 7!:
P(\text{juntos}) = \frac{7!\cdot 2}{8\cdot 7!} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.
Portanto a probabilidade de Pedro e Silvia ficarem juntos é \frac{1}{4}.

Passo 5

Verificação alternativa (mesma ideia, contado de outro jeito) — útil para fixar:
  • Escolha a posição de Pedro (há \,8 posições possíveis).
  • Para cada posição de Pedro, conte quantas posições de Silvia fazem com que fiquem juntos:
    • Se Pedro estiver em uma das extremidades (posições 1 ou 8) há 1 vizinho possível para Silvia.
    • Se Pedro estiver em qualquer das 6 posições do meio (posições 2 a 7) há 2 vizinhos possíveis.
  • Assim o total de escolhas de posição relativa Silvia–Pedro que dão adjacência é 2\cdot 1 + 6\cdot 2 = 2 + 12 = 14.
  • Para cada dessas escolhas, os outros 6 persons podem ser permutados de 6! maneiras, dando favoráveis 14\cdot 6!.
    Note que 14\cdot 6! = 2\cdot 7!, reproduzindo o resultado anterior, confirmando a probabilidade \frac{1}{4}.

Passo 6

Parte (b): probabilidade de Pedro e Silvia ficarem separados.
Usamos a regra do complemento (muito útil em provas): o evento “separados” é o complementar de “juntos”, então
P(\text{separados}) = 1 - P(\text{juntos}).
Já achamos P(\text{juntos}) = \frac{1}{4}, então
P(\text{separados}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
Também dá para contar diretamente: favoráveis separados = 8! - 7!\cdot 2, e dividindo por 8! dá o mesmo resultado \frac{3}{4}.

Passo 7

Resumo final e incentivo rápido: a técnica principal é reconhecer quando agrupar elementos como um bloco e usar fatorial para contagem; o complemento é uma mão na roda quando contar direto fica chato. Você fez certo em pedir passo a passo — esses pequenos truques caem sempre nas provas. Vai dar certo!

Resposta

a) \frac{1}{4}\n
b) \frac{3}{4}

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