De um lote de 200 peças, sendo 180 boas e 20 defeituosas, 10 peças são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de:
As 10 peças serem boas

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
  • Temos um lote de 200 peças.
  • Destas, 180 são boas e 20 são defeituosas.
  • Selecionam-se 10 peças ao acaso, sem reposição.
  • Pergunta: qual a probabilidade de as 10 peças selecionadas serem todas boas?

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar (explicação didática do porquê):
  • Aqui a amostragem é feita sem reposição, então a probabilidade depende do número absoluto de peças boas e do tamanho da amostra; não podemos usar o modelo binomial direto (que assume reposição/independência).
  • O método correto é o que usa contagem com combinações — chamado de distribuição hipergeométrica. A ideia é contar quantas seleções favoráveis existem e dividir pelo total de seleções possíveis, todas igualmente prováveis.
  • Fórmula geral da hipergeométrica (explicando cada símbolo): P(\text{exatamente }k\text{ boas})=\frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}onde:
    • N é o tamanho da população total,
    • K é o número total de itens “sucesso” na população (aqui, boas),
    • n é o tamanho da amostra,
    • k é o número de sucessos desejados na amostra,
    • \binom{a}{b} é o número de combinações de a elementos tomados b a b.
  • No nosso caso queremos que as 10 sejam todas boas, ou seja k=n=10. Substituindo: N=200,\quad K=180,\quad n=10,\quad k=10.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao problema (montando a expressão combinatória):
  • Usando a fórmula: P(\text{10 todas boas})=\frac{\binom{180}{10}\,\binom{20}{0}}{\binom{200}{10}}.
  • Observação: \binom{20}{0}=1, então a expressão simplifica para P=\frac{\binom{180}{10}}{\binom{200}{10}}.
  • Isto significa: número de maneiras de escolher 10 boas entre 180 dividido pelo número de maneiras de escolher qualquer 10 entre 200.

Passo 4

Transformando a razão de combinações numa forma prática para calcular à mão (explicando combinações e cancelamento):
  • Lembrete: \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}. Mas calcular fatoriais gigantes é inconveniente; existe uma forma prática equivalente: \binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.
  • Ao dividir \binom{180}{10} por \binom{200}{10} os fatores 10! no numerador/denominador se cancelam, resultando numa multiplicação de frações simples: P=\frac{\binom{180}{10}}{\binom{200}{10}}=\frac{180\cdot179\cdot178\cdots171}{200\cdot199\cdot198\cdots191}.
  • Podemos também escrever isso como um produto de 10 razões sucessivas: P=\prod_{i=0}^{9}\frac{180-i}{200-i}=\frac{180}{200}\cdot\frac{179}{199}\cdot\frac{178}{198}\cdot\cdots\cdot\frac{171}{191}.
  • Essa forma é ótima para cálculo manual porque cada fator é uma fração simples próxima de 0,9.

Passo 5

Cálculo passo a passo das frações e multiplicação (faça assim na prova):
  • Liste os 10 fatores: \frac{180}{200},\\ \frac{179}{199},\\ \frac{178}{198},\\ \frac{177}{197},\\ \frac{176}{196},\\ \frac{175}{195},\\ \frac{174}{194},\\ \frac{173}{193},\\ \frac{172}{192},\\ \frac{171}{191}.
  • Valores decimais aproximados de cada fator (úteis para multiplicar manualmente com umas poucas casas): \begin{aligned} &\frac{180}{200}=0,9\\\ &\frac{179}{199}\approx0,899497487\\\ &\frac{178}{198}=\frac{89}{99}\approx0,898989899\\\ &\frac{177}{197}\approx0,898477157\\\ &\frac{176}{196}=\frac{44}{49}\approx0,897959184\\\ &\frac{175}{195}=\frac{35}{39}\approx0,897435897\\\ &\frac{174}{194}=\frac{87}{97}\approx0,896907216\\\ &\frac{173}{193}\approx0,896371882\\\ &\frac{172}{192}=\frac{43}{48}\approx0,895833333\\\ &\frac{171}{191}\approx0,895302013 \end{aligned}
  • Agora multiplicamos sequencialmente (eu mostro multiplicações parciais para você entender como fazer sem calculadora; na prova faça multiplicações parecidas mantendo 4–6 algarismos significativos para cada passo): \begin{aligned} p_1&=0,9\\\ p_2&=p_1\cdot0,899497487\approx0,809547738\\\ p_3&=p_2\cdot0,898989899\approx0,727775237\\\ p_4&=p_3\cdot0,898477157\approx0,653889712\\\ p_5&=p_4\cdot0,897959184\approx0,587166274\\\ p_6&=p_5\cdot0,897435897\approx0,526944156\\\ p_7&=p_6\cdot0,896907216\approx0,472620750\\\ p_8&=p_7\cdot0,896371882\approx0,423643980\\\ p_9&=p_8\cdot0,895833333\approx0,379515230\\\ p_{10}&=p_9\cdot0,895302013\approx0,339781100 \end{aligned}
  • Cada linha é um produto parcial; com um pouco de prática você consegue fazer cada multiplicação com lápis e papel mantendo 4 casas decimais e o erro final fica bem pequeno.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida:
  • Resultado aproximado: P\approx0,3398.
  • Checagem intuitiva: se tivéssemos reposição (independência) a probabilidade seria 0,9^{10}\approx0,3487. Aqui, sem reposição, a probabilidade fica um pouco menor (porque defeituosas vão “ficando” na população relativa), e nosso valor 0,3398 é coerente com isso.
  • Moral: a chance de tirar 10 boas seguidas desse lote é cerca de 34\% — menos da metade, mas nem baixa demais.

Resposta

0,3398 (aproximadamente)

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