De um lote de 200 peças, sendo 180 boas e 20 defeituosas, 10 peças são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de:
As 10 peças serem boas
As 10 peças serem boas
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
- Temos um lote de
peças. - Destas,
são boas e são defeituosas. - Selecionam-se
peças ao acaso, sem reposição. - Pergunta: qual a probabilidade de as
peças selecionadas serem todas boas?
Passo 2
Escolha do método e fórmula que vamos usar (explicação didática do porquê):
- Aqui a amostragem é feita sem reposição, então a probabilidade depende do número absoluto de peças boas e do tamanho da amostra; não podemos usar o modelo binomial direto (que assume reposição/independência).
- O método correto é o que usa contagem com combinações — chamado de distribuição hipergeométrica. A ideia é contar quantas seleções favoráveis existem e dividir pelo total de seleções possíveis, todas igualmente prováveis.
- Fórmula geral da hipergeométrica (explicando cada símbolo):
onde: -
é o tamanho da população total, -
é o número total de itens “sucesso” na população (aqui, boas), -
é o tamanho da amostra, -
é o número de sucessos desejados na amostra, -
é o número de combinações de elementos tomados a .
-
- No nosso caso queremos que as
sejam todas boas, ou seja . Substituindo:
Passo 3
Aplicando a fórmula ao problema (montando a expressão combinatória):
- Usando a fórmula:
- Observação:
, então a expressão simplifica para - Isto significa: número de maneiras de escolher 10 boas entre 180 dividido pelo número de maneiras de escolher qualquer 10 entre 200.
Passo 4
Transformando a razão de combinações numa forma prática para calcular à mão (explicando combinações e cancelamento):
- Lembrete:
. Mas calcular fatoriais gigantes é inconveniente; existe uma forma prática equivalente: - Ao dividir
por os fatores no numerador/denominador se cancelam, resultando numa multiplicação de frações simples: - Podemos também escrever isso como um produto de 10 razões sucessivas:
- Essa forma é ótima para cálculo manual porque cada fator é uma fração simples próxima de
.
Passo 5
Cálculo passo a passo das frações e multiplicação (faça assim na prova):
- Liste os 10 fatores:
- Valores decimais aproximados de cada fator (úteis para multiplicar manualmente com umas poucas casas):
- Agora multiplicamos sequencialmente (eu mostro multiplicações parciais para você entender como fazer sem calculadora; na prova faça multiplicações parecidas mantendo 4–6 algarismos significativos para cada passo):
- Cada linha é um produto parcial; com um pouco de prática você consegue fazer cada multiplicação com lápis e papel mantendo 4 casas decimais e o erro final fica bem pequeno.
Passo 6
Interpretação e checagem rápida:
- Resultado aproximado:
. - Checagem intuitiva: se tivéssemos reposição (independência) a probabilidade seria
. Aqui, sem reposição, a probabilidade fica um pouco menor (porque defeituosas vão “ficando” na população relativa), e nosso valor é coerente com isso. - Moral: a chance de tirar 10 boas seguidas desse lote é cerca de
— menos da metade, mas nem baixa demais.