Um lote de 500 peças contém
de peças defeituosas. Qual o tamanho da amostra que deve ser retirada para que a probabilidade de encontrar pelo menos uma peça defeituosa seja de 95%?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um lote de 500 peças, das quais 10% são defeituosas. Queremos descobrir quantas peças precisamos retirar desse lote para ter 95% de chance de encontrar pelo menos uma peça defeituosa. Vamos usar conceitos de probabilidade e combinatória para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter 10% de peças defeituosas em um lote de 500 peças. Isso quer dizer que temos 50 peças defeituosas (porque 10% de 500 é 50) e 450 peças que estão boas.
Passo 3
A gente quer saber o tamanho da amostra (n) que precisamos retirar para ter 95% de probabilidade de encontrar pelo menos uma peça defeituosa. Na teoria da probabilidade, isso é equivalente a dizer que a probabilidade de não encontrar nenhuma peça defeituosa deve ser de 5%.
Passo 4
Vamos usar a fórmula da probabilidade de nenhuma peça defeituosa na amostra:
Aqui,
é o número de maneiras de escolher n peças boas entre as 450 disponíveis, e
é o número total de maneiras de escolher n peças de todo o lote.
Passo 5
Queremos que essa probabilidade seja igual ou menor que 5%, então temos:
Nosso objetivo agora é encontrar o menor valor de n que satisfaz essa desigualdade.
Passo 6
Para resolver isso, podemos reescrever a expressão usando a propriedade das combinações:
Queremos que esse produto seja menor ou igual a 0.05.
Passo 7
Vamos calcular passo a passo para diferentes valores de n até encontrarmos o valor que atende à condição. Começamos com n=1 e aumentamos até que a condição seja satisfeita.
Por exemplo:
-
Para n=1:Não atende.
-
Para n=10:Ainda maior que 0.05.
-
Continuando esse processo, vamos testando valores maiores de n.
Passo 8
Após testar diferentes valores, descobrimos que para n=46:
Resposta
Portanto, precisamos retirar uma amostra de 46 peças para que a probabilidade de encontrar pelo menos uma peça defeituosa seja de 95%.