Um lote de 500 peças contém 10 % de peças defeituosas. Qual o tamanho da amostra que deve ser retirada para que a probabilidade de encontrar pelo menos uma peça defeituosa seja de 95%?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um lote de 500 peças, das quais 10% são defeituosas. Queremos descobrir quantas peças precisamos retirar desse lote para ter 95% de chance de encontrar pelo menos uma peça defeituosa. Vamos usar conceitos de probabilidade e combinatória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter 10% de peças defeituosas em um lote de 500 peças. Isso quer dizer que temos 50 peças defeituosas (porque 10% de 500 é 50) e 450 peças que estão boas.

Passo 3

A gente quer saber o tamanho da amostra (n) que precisamos retirar para ter 95% de probabilidade de encontrar pelo menos uma peça defeituosa. Na teoria da probabilidade, isso é equivalente a dizer que a probabilidade de não encontrar nenhuma peça defeituosa deve ser de 5%.

Passo 4

Vamos usar a fórmula da probabilidade de nenhuma peça defeituosa na amostra:
P(nenhuma defeituosa) = binom450nbinom500n
Aqui, binom450n é o número de maneiras de escolher n peças boas entre as 450 disponíveis, e binom500n é o número total de maneiras de escolher n peças de todo o lote.

Passo 5

Queremos que essa probabilidade seja igual ou menor que 5%, então temos:
binom450nbinom500n <= 0.05
Nosso objetivo agora é encontrar o menor valor de n que satisfaz essa desigualdade.

Passo 6

Para resolver isso, podemos reescrever a expressão usando a propriedade das combinações:
binom450nbinom500n = prodi=0^n-1 450 - i500 - i
Queremos que esse produto seja menor ou igual a 0.05.

Passo 7

Vamos calcular passo a passo para diferentes valores de n até encontrarmos o valor que atende à condição. Começamos com n=1 e aumentamos até que a condição seja satisfeita.
Por exemplo:
  • Para n=1:
    450500 = 0.9 > 0.05
    Não atende.
  • Para n=10:
    prodi=0^9 450 - i500 - i approx 0.616
    Ainda maior que 0.05.
  • Continuando esse processo, vamos testando valores maiores de n.

Passo 8

Após testar diferentes valores, descobrimos que para n=46:
prodi=0^45 450 - i500 - i approx 0.0498 <= 0.05

Resposta

Portanto, precisamos retirar uma amostra de 46 peças para que a probabilidade de encontrar pelo menos uma peça defeituosa seja de 95%.

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