Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:
Exatamente 12 tenham feito cursinho?
Exatamente 12 tenham feito cursinho?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes do vestibular. A gente precisa descobrir a probabilidade de, ao selecionar 16 alunos aleatoriamente, exatamente 12 terem feito cursinho.
Matéria envolvida: Probabilidade binomial.
O que vamos precisar: Entender como aplicar a fórmula da probabilidade binomial, que é usada quando temos uma sequência de tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados (sucesso ou fracasso).
Passo 2
Primeiro, vamos definir os parâmetros da situação:
- Número total de tentativas (n): 16 alunos.
- Número de sucessos desejados (k): 12 alunos que fizeram cursinho.
- Probabilidade de sucesso em uma tentativa §: 3/4, já que 3 em cada 4 fizeram cursinho.
- Probabilidade de fracasso (q): 1 - p = 1/4.
Passo 3
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
-
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas. -
é a probabilidade de ter exatamente k sucessos. -
é a probabilidade de ter exatamente n-k fracassos.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
- Coeficiente binomial
:
Calculando isso, temos:
- Probabilidade de exatamente 12 sucessos (
):
- Probabilidade de exatamente 4 fracassos (
):
Passo 5
Agora, multiplicamos todos os valores:
Calculando isso:
Resposta
A probabilidade de que exatamente 12 dos 16 alunos selecionados tenham feito cursinho é aproximadamente 22,5%.