Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:
Exatamente 12 tenham feito cursinho?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes do vestibular. A gente precisa descobrir a probabilidade de, ao selecionar 16 alunos aleatoriamente, exatamente 12 terem feito cursinho.
Matéria envolvida: Probabilidade binomial.
O que vamos precisar: Entender como aplicar a fórmula da probabilidade binomial, que é usada quando temos uma sequência de tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos definir os parâmetros da situação:
  • Número total de tentativas (n): 16 alunos.
  • Número de sucessos desejados (k): 12 alunos que fizeram cursinho.
  • Probabilidade de sucesso em uma tentativa §: 3/4, já que 3 em cada 4 fizeram cursinho.
  • Probabilidade de fracasso (q): 1 - p = 1/4.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk times p^k times q^n-k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • p^k é a probabilidade de ter exatamente k sucessos.
  • q^n-k é a probabilidade de ter exatamente n-k fracassos.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial binom1612:
binom1612 = 16!12! times (16-12)! = 16!12! times 4!
Calculando isso, temos:
binom1612 = 1820
  1. Probabilidade de exatamente 12 sucessos ( p^12):
(34)^12 approx 0,0317
  1. Probabilidade de exatamente 4 fracassos ( q^4):
(14)^4 = 1256 approx 0,00390625

Passo 5

Agora, multiplicamos todos os valores:
P(12) = 1820 times 0,0317 times 0,00390625
Calculando isso:
P(12) approx 1820 times 0,0317 times 0,00390625 approx 0,225

Resposta

A probabilidade de que exatamente 12 dos 16 alunos selecionados tenham feito cursinho é aproximadamente 22,5%.

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