Um teste possui 10 questões de múltipla escolha com 4 alternativas cada. Um aluno chuta todas as respostas. Qual a probabilidade de acertar exatamente 3 questões?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um teste com 10 questões de múltipla escolha, cada uma com 4 alternativas. O aluno decide chutar todas as respostas e queremos saber qual a probabilidade dele acertar exatamente 3 questões. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com duas opções possíveis (acertar ou errar).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos que precisamos para aplicar a fórmula da probabilidade binomial:
  • Número total de questões (n): 10
  • Número de acertos desejados (k): 3
  • Probabilidade de acertar uma questão chutando §: Como são 4 alternativas e só uma está correta, p = 14
  • Probabilidade de errar uma questão (q): q = 1 - p = 34

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times q^n - k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula quantas combinações diferentes de k acertos existem em n tentativas.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente binomial binom103:
binom103 = 10!3!(10 - 3)! = 10 times 9 times 83 times 2 times 1 = 120
Isso significa que existem 120 maneiras diferentes de acertar exatamente 3 questões em 10.

Passo 5

Agora, vamos calcular p^k e q^n - k:
p^k = (14)^3 = 164
q^n - k = (34)^7 approx 0,1335

Passo 6

Finalmente, vamos juntar tudo na fórmula:
P(X = 3) = 120 times 164 times 0,1335 approx 120 times 0,0156 times 0,1335 approx 0,25

Resposta

A probabilidade de o aluno acertar exatamente 3 questões chutando todas é de aproximadamente 25%.

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