Suponha que o diâmetro de uma população de oliveiras segue uma distribuição normal de média 17 cm e desvio padrão 2 cm .
(a) Qual é a probabilidade do diâmetro de uma oliveira, escolhida ao acaso nesta população, estar compreendido entre 14 e 20 cm ?
(b) Qual é a probabilidade do diâmetro de uma oliveira ser inferior a 18 cm ?
© Para efeitos de tratamento pretende-se classificar as oliveiras de acordo com o diâmetro do seguinte modo: oliveiras correspondentes aos 20 % dos menores diâmetros como sendo do tipo A, tipo B para os 50 % dos valores seguintes dos diâmetros e as oliveiras com os 30 % maiores diâmetros como sendo do tipo C. Determine os limites do diâmetro para cada classe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema sobre a distribuição normal dos diâmetros das oliveiras. A média é 17 cm e o desvio padrão é 2 cm. Vamos precisar usar a tabela da distribuição normal padrão (z) para calcular as probabilidades pedidas nas partes (a), (b) e ©.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): Qual é a probabilidade do diâmetro de uma oliveira, escolhida ao acaso nesta população, estar entre 14 e 20 cm?
Para isso, vamos padronizar os valores usando a fórmula do z-score:
z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor do diâmetro,
  • $ \mu $ é a média (17 cm),
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (2 cm).
Vamos calcular os z-scores para 14 cm e 20 cm.
Para 14 cm:
X
Para 20 cm:
mu
Agora, precisamos encontrar a probabilidade entre esses dois valores de z.

Passo 3

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos:
P(z < 1,5) approx 0,9332
P(z < -1,5) approx 0,0668
Para encontrar a probabilidade entre 14 e 20 cm, subtraímos essas duas probabilidades:
P(14 <= X <= 20) = P(z < 1,5) - P(z < -1,5)
P(14 <= X <= 20) = 0,9332 - 0,0668 = 0,8664

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): Qual é a probabilidade do diâmetro de uma oliveira ser inferior a 18 cm?
Usamos novamente a fórmula do z-score:
z = 18 - 172 = 12 = 0,5
Consultando a tabela:
P(z < 0,5) approx 0,6915
Então, a probabilidade é aproximadamente 69,15%.

Passo 5

Finalmente, a parte ©: Classificar as oliveiras em tipos A, B e C com base nos percentis.
  • Tipo A: 20% menores diâmetros
  • Tipo B: 50% seguintes
  • Tipo C: 30% maiores diâmetros
Vamos encontrar os valores correspondentes a esses percentis na distribuição normal.
Para o Tipo A (20% menores), precisamos encontrar o z que corresponde a 20%.
Consultando a tabela, encontramos:
z20% approx -0,84
Usando a fórmula inversa:
X = mu + z cdot sigma
XA = 17 + (-0,84) cdot 2
XA = 17 - 1,68 = 15,32 , cm
Para o Tipo B, que vai do 20% ao 70%, precisamos dos z para 70%.
z70% approx 0,52
Então:
XB = 17 + 0,52 cdot 2
XB = 17 + 1,04 = 18,04 , cm
Os limites ficam:
  • Tipo A: até 15,32 cm
  • Tipo B: de 15,32 cm até 18,04 cm
  • Tipo C: acima de 18,04 cm

Resposta

(a) A probabilidade está entre 14 e 20 cm é aproximadamente 86,64%.
(b) A probabilidade de uma oliveira ter diâmetro inferior a 18 cm é cerca de 69,15%.
© Os limites dos diâmetros para cada classe são:
  • Tipo A: até 15,32 cm
  • Tipo B: de 15,32 cm até 18,04 cm
  • Tipo C: acima de 18,04 cm

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