Suponha que o diâmetro de uma população de oliveiras segue uma distribuição normal de média 17 cm e desvio padrão 2 cm .
(a) Qual é a probabilidade do diâmetro de uma oliveira, escolhida ao acaso nesta população, estar compreendido entre 14 e 20 cm ?
(b) Qual é a probabilidade do diâmetro de uma oliveira ser inferior a 18 cm ?
© Para efeitos de tratamento pretende-se classificar as oliveiras de acordo com o diâmetro do seguinte modo: oliveiras correspondentes aos
dos menores diâmetros como sendo do tipo
, tipo
para os
dos valores seguintes dos diâmetros e as oliveiras com os
maiores diâmetros como sendo do tipo
. Determine os limites do diâmetro para cada classe.
(a) Qual é a probabilidade do diâmetro de uma oliveira, escolhida ao acaso nesta população, estar compreendido entre 14 e 20 cm ?
(b) Qual é a probabilidade do diâmetro de uma oliveira ser inferior a 18 cm ?
© Para efeitos de tratamento pretende-se classificar as oliveiras de acordo com o diâmetro do seguinte modo: oliveiras correspondentes aos
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema sobre a distribuição normal dos diâmetros das oliveiras. A média é 17 cm e o desvio padrão é 2 cm. Vamos precisar usar a tabela da distribuição normal padrão (z) para calcular as probabilidades pedidas nas partes (a), (b) e ©.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): Qual é a probabilidade do diâmetro de uma oliveira, escolhida ao acaso nesta população, estar entre 14 e 20 cm?
Para isso, vamos padronizar os valores usando a fórmula do z-score:
Onde:
- $ X $ é o valor do diâmetro,
- $ \mu $ é a média (17 cm),
- $ \sigma $ é o desvio padrão (2 cm).
Vamos calcular os z-scores para 14 cm e 20 cm.
Para 14 cm:
Para 20 cm:
Agora, precisamos encontrar a probabilidade entre esses dois valores de z.
Passo 3
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos:
Para encontrar a probabilidade entre 14 e 20 cm, subtraímos essas duas probabilidades:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): Qual é a probabilidade do diâmetro de uma oliveira ser inferior a 18 cm?
Usamos novamente a fórmula do z-score:
Consultando a tabela:
Então, a probabilidade é aproximadamente 69,15%.
Passo 5
Finalmente, a parte ©: Classificar as oliveiras em tipos A, B e C com base nos percentis.
- Tipo A: 20% menores diâmetros
- Tipo B: 50% seguintes
- Tipo C: 30% maiores diâmetros
Vamos encontrar os valores correspondentes a esses percentis na distribuição normal.
Para o Tipo A (20% menores), precisamos encontrar o z que corresponde a 20%.
Consultando a tabela, encontramos:
Usando a fórmula inversa:
Para o Tipo B, que vai do 20% ao 70%, precisamos dos z para 70%.
Então:
Os limites ficam:
- Tipo A: até 15,32 cm
- Tipo B: de 15,32 cm até 18,04 cm
- Tipo C: acima de 18,04 cm
Resposta
(a) A probabilidade está entre 14 e 20 cm é aproximadamente 86,64%.
(b) A probabilidade de uma oliveira ter diâmetro inferior a 18 cm é cerca de 69,15%.
© Os limites dos diâmetros para cada classe são:
- Tipo A: até 15,32 cm
- Tipo B: de 15,32 cm até 18,04 cm
- Tipo C: acima de 18,04 cm