Uma empresa de auxílio à lista telefônica recebe, em média, sete solicitações por minuto, segundo uma distribuição de Poisson. Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 80 solicitações nos próximos 10 minutos?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: uma empresa recebe em média 7 solicitações por minuto e esse número de solicitações segue uma distribuição de Poisson. A pergunta é: qual a probabilidade de chegar mais de 80 solicitações nos próximos 10 minutos?
Matéria: distribuição de Poisson.
O que precisamos:
  1. Calcular o parâmetro λ para 10 minutos (já que 7 é por minuto).
  2. Escrever a probabilidade de “mais de 80” em termos da soma das probabilidades de Poisson.
  3. Se quisermos um valor numérico, usar aproximação (por exemplo, normal) ou somar diretamente até k=80.

Passo 2

Primeiro vamos achar o λ total para 10 minutos. Se são 7 solicitações por minuto, em 10 minutos o λ é
lambda = 7 times 10 = 70
Ou seja, P(X=k)=e^-70,70^kk! , onde

Passo 3

Aí “mais de 80” significa P(X>80)=1 - P(X<=80) =1 - sumk=0^80e^-70,70^kk! . Na prática a gente faz
Pronto, essa é a fórmula exata. Só que calcular até k=80 “na mão” é chatinho, então a gente costuma aproximar.

Passo 4

Uma forma bem comum é usar a aproximação normal na Poisson quando λ é grande. Como λ=70 é relativamente grande, vale fazer:
  • A Poisson(70) se aproxima de z=805-70raiz70approx1058367approx125 .
  • Para continuar “>80” com correção de continuidade, a gente faz virar .
  • Calcular o z:
  • E aí

Resposta

P(X>80) =1 - sumk=0^80e^-70,70^kk! approx0106

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