1. A loteria Ligeirinha distribui prêmios entre seus clientes da seguinte forma: - 400 prêmios de \mathrm{R} \ 100,00 ; \cdot 50 prêmios deê\mathrm{R} $200,00 ; \cdot 10 prêmios deê\mathrm{R} $ 400,00$. Admitindo-se que em um concurso sejam emitidos e vendidos 10.000 bilhetes, qual o preço justo a se pagar por um bilhete? R:5,40

Passo 1

O enunciado pede: “qual o preço justo a se pagar por um bilhete?” e fornece as seguintes informações:

\bullet Foram emitidos e vendidos \,10.000\, bilhetes.
\bullet \,400\, prêmios de \mathrm{R}\$\,100,00.
\bullet \,50\, prêmios de \mathrm{R}\$\,200,00.
\bullet \,10\, prêmios de \mathrm{R}\$\,400,00.

A pergunta é: qual o preço justo (isto é, o valor esperado do prêmio por bilhete) em reais?

Passo 2

Vamos modelar o problema com uma variável aleatória simples para entender o que é “preço justo”. Defina X como o valor do prêmio pago a um bilhete sorteado (ou seja, quanto o comprador do bilhete recebe do sorteio). Os possíveis valores de X são:

\;0 (quando o bilhete não ganha prêmio), \;100, \;200 e \;400 em reais.

Cada valor tem uma probabilidade associada dada pelo número de prêmios desse tipo dividido pelo total de bilhetes ( 10.000). Vou calcular essas probabilidades de forma explícita e sem pular etapas.

Passo 3

Cálculo das probabilidades:

\displaystyle P(X=100)=\frac{400}{10.000}=\frac{1}{25}=0,04

\displaystyle P(X=200)=\frac{50}{10.000}=\frac{1}{200}=0,005

\displaystyle P(X=400)=\frac{10}{10.000}=\frac{1}{1000}=0,001

O restante dos bilhetes não ganha nada, então

\displaystyle P(X=0)=1-\big(0,04+0,005+0,001\big)=1-0,046=0,954

Observação rápida: as probabilidades somam 0,954+0,04+0,005+0,001=1, como deve ser.

Passo 4

Agora vamos ao conceito central — “valor justo” aqui é o valor esperado (esperança) da variável X. Explico o conceito de forma direta: o valor esperado \mathbb{E}[X] é a média ponderada dos valores possíveis de X, cada um ponderado pela sua probabilidade. A fórmula é
\mathbb{E}[X]=\sum_{i} x_i\,P(X=x_i),
onde x_i são os valores possíveis e P(X=x_i) as respectivas probabilidades.

Isso significa: multiplica-se cada prêmio pela chance de um bilhete ter esse prêmio e soma-se tudo. É exatamente o ganho médio que um comprador de bilhete pode esperar a longo prazo.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso (note que o termo com X=0 contribui com zero):
\mathbb{E}[X]=100\cdot P(X=100)+200\cdot P(X=200)+400\cdot P(X=400).
Substituindo as probabilidades:
\mathbb{E}[X]=100\cdot 0,04 + 200\cdot 0,005 + 400\cdot 0,001.

Passo 6

Calculemos termo a termo, mostrando as contas:

\displaystyle 100\cdot 0,04 = 100\cdot \frac{400}{10.000} = \frac{100\cdot 400}{10.000} = \frac{40.000}{10.000}=4,00

\displaystyle 200\cdot 0,005 = 200\cdot \frac{50}{10.000} = \frac{200\cdot 50}{10.000} = \frac{10.000}{10.000}=1,00

\displaystyle 400\cdot 0,001 = 400\cdot \frac{10}{10.000} = \frac{400\cdot 10}{10.000} = \frac{4.000}{10.000}=0,40

Passo 7

Somando os termos:

\displaystyle \mathbb{E}[X]=4,00+1,00+0,40=5,40

Interpretação: em média, cada bilhete “vale” \mathrm{R}\$\,5,40 de retorno do sorteio. Esse é o preço justo — se você pagar exatamente esse valor, a seu ganho esperado é zero (nem lucro nem perda, em média).

Resposta

\mathrm{R}\$\,5,40

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