- A loteria Ligeirinha distribui prêmios entre seus clientes da seguinte forma: - 400 prêmios de
100,00 ; \cdot 50
\mathrm{R} $200,00 ; \cdot 10
\mathrm{R} $ 400,00$. Admitindo-se que em um concurso sejam emitidos e vendidos 10.000 bilhetes, qual o preço justo a se pagar por um bilhete? R:5,40
Passo 1
O enunciado pede: “qual o preço justo a se pagar por um bilhete?” e fornece as seguintes informações:
Foram emitidos e vendidos
bilhetes.
Há
prêmios de
.
Há
prêmios de
.
Há
prêmios de
.
A pergunta é: qual o preço justo (isto é, o valor esperado do prêmio por bilhete) em reais?
A pergunta é: qual o preço justo (isto é, o valor esperado do prêmio por bilhete) em reais?
Passo 2
Vamos modelar o problema com uma variável aleatória simples para entender o que é “preço justo”. Defina
como o valor do prêmio pago a um bilhete sorteado (ou seja, quanto o comprador do bilhete recebe do sorteio). Os possíveis valores de
são:
(quando o bilhete não ganha prêmio),
,
e
em reais.
Cada valor tem uma probabilidade associada dada pelo número de prêmios desse tipo dividido pelo total de bilhetes ( ). Vou calcular essas probabilidades de forma explícita e sem pular etapas.
Cada valor tem uma probabilidade associada dada pelo número de prêmios desse tipo dividido pelo total de bilhetes (
Passo 3
Cálculo das probabilidades:
O restante dos bilhetes não ganha nada, então
Observação rápida: as probabilidades somam , como deve ser.
O restante dos bilhetes não ganha nada, então
Observação rápida: as probabilidades somam
Passo 4
Agora vamos ao conceito central — “valor justo” aqui é o valor esperado (esperança) da variável
. Explico o conceito de forma direta: o valor esperado
é a média ponderada dos valores possíveis de
, cada um ponderado pela sua probabilidade. A fórmula é
onde
são os valores possíveis e
as respectivas probabilidades.
Isso significa: multiplica-se cada prêmio pela chance de um bilhete ter esse prêmio e soma-se tudo. É exatamente o ganho médio que um comprador de bilhete pode esperar a longo prazo.
Isso significa: multiplica-se cada prêmio pela chance de um bilhete ter esse prêmio e soma-se tudo. É exatamente o ganho médio que um comprador de bilhete pode esperar a longo prazo.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso (note que o termo com
contribui com zero):
Substituindo as probabilidades:
Passo 6
Calculemos termo a termo, mostrando as contas:
Passo 7
Somando os termos:
Interpretação: em média, cada bilhete “vale” de retorno do sorteio. Esse é o preço justo — se você pagar exatamente esse valor, a seu ganho esperado é zero (nem lucro nem perda, em média).
Interpretação: em média, cada bilhete “vale”