Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada. Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar serão indenizados. A probabilidade de uma semente não germinar é de
.
a) Qual a probabilidade de um pacote ser indenizado?
b) Se o produtor vender 1000 pacotes quantos espera indenizar.
R:1000*P(“Indenização”)
a) Qual a probabilidade de um pacote ser indenizado?
b) Se o produtor vender 1000 pacotes quantos espera indenizar.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas.
- Cada pacote contém
sementes. - A probabilidade de uma semente NÃO germinar é
, ou seja . - Um pacote será indenizado se ele apresentar MAIS DE UMA semente sem germinar, isto é, se houver pelo menos
sementes que não germinaram no pacote. A pergunta (a) pede a probabilidade desse evento. - A pergunta (b) pede, entre
pacotes vendidos, quantos pacotes se espera que sejam indenizados (valor esperado).
Passo 2
Modelagem do problema: definir a variável aleatória e a distribuição que usamos.
- Seja
o número de sementes que não germinam em um pacote de . - Cada semente tem probabilidade
de não germinar, e assumimos sementes independentes entre si. - Portanto
segue uma distribuição binomial com parâmetros e . Escrevemos .
Explicação didática da binomial (rápida, para fixar): a binomial dá a probabilidade de acontecerem exatamente
sucessos (aqui: sementes que não germinam) em
tentativas independentes, cada uma com probabilidade
. A fórmula é
onde
é o número de maneiras de escolher quais
sementes falham (combinações). No nosso caso
é o coeficiente combinado para
falhas.
Passo 3
Reescrever a probabilidade pedida de forma conveniente.
- Queremos
. - Usamos o complementar porque é mais simples calcular
e . Assim:
Isso evita somar muitas probabilidades; com binomial as duas primeiras são fáceis.
Passo 4
Calcular
. Usando a fórmula da binomial com
:
Substituindo
:
Agora um cálculo numérico aproximado (vou mostrar como obter sem calculadora, via aproximação por potências): podemos usar que
(valor obtido por multiplicações sucessivas) e então
Portanto
Portanto
Passo 5
Calcular
. Usando a fórmula da binomial com
:
Podemos relacionar
com
por
. Usando o valor anterior
obtemos
Logo
Passo 6
Agora juntamos para obter
:
Interpretação: a probabilidade de um pacote ter pelo menos
sementes que não germinam é aproximadamente
, ou
.
Passo 7
Calcular quantos pacotes se espera indenizar entre
pacotes.
- Se a probabilidade de indenizar um pacote é
, para pacotes independentes o número esperado de pacotes indenizados é
- Substituindo
e :
Interpretação prática: espera-se cerca de
pacotes indenizados (o valor esperado é
, que normalmente se interpreta como aproximadamente
pacotes).