Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada. Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar serão indenizados. A probabilidade de uma semente não germinar é de 2 \%.
a) Qual a probabilidade de um pacote ser indenizado?
R: P(X>=2)=1-[P(X=0)+P(X=1)]
b) Se o produtor vender 1000 pacotes quantos espera indenizar.
R:1000*P(“Indenização”)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas.
  • Cada pacote contém 20 sementes.
  • A probabilidade de uma semente NÃO germinar é 2\%, ou seja p=0,02.
  • Um pacote será indenizado se ele apresentar MAIS DE UMA semente sem germinar, isto é, se houver pelo menos 2 sementes que não germinaram no pacote. A pergunta (a) pede a probabilidade desse evento.
  • A pergunta (b) pede, entre 1000 pacotes vendidos, quantos pacotes se espera que sejam indenizados (valor esperado).

Passo 2

Modelagem do problema: definir a variável aleatória e a distribuição que usamos.
  • Seja X o número de sementes que não germinam em um pacote de 20.
  • Cada semente tem probabilidade p=0,02 de não germinar, e assumimos sementes independentes entre si.
  • Portanto X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=20 e p=0,02. Escrevemos X\sim\mathrm{Bin}(n,p)=\mathrm{Bin}(20,0,02).
Explicação didática da binomial (rápida, para fixar): a binomial dá a probabilidade de acontecerem exatamente k sucessos (aqui: sementes que não germinam) em n tentativas independentes, cada uma com probabilidade p. A fórmula é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k sementes falham (combinações). No nosso caso \binom{20}{k} é o coeficiente combinado para k falhas.

Passo 3

Reescrever a probabilidade pedida de forma conveniente.
  • Queremos P(\text{indenizado})=P(X\ge2).
  • Usamos o complementar porque é mais simples calcular P(X=0) e P(X=1). Assim:
P(X\ge2)=1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)\bigr].
Isso evita somar muitas probabilidades; com binomial as duas primeiras são fáceis.

Passo 4

Calcular P(X=0). Usando a fórmula da binomial com k=0:
P(X=0)=\binom{20}{0}\,p^{0}\,(1-p)^{20}=(1-p)^{20}.
Substituindo p=0,02:
P(X=0)=0,98^{20}.
Agora um cálculo numérico aproximado (vou mostrar como obter sem calculadora, via aproximação por potências): podemos usar que 0,98^{10}\approx0,81707 (valor obtido por multiplicações sucessivas) e então 0,98^{20}=(0,98^{10})^{2}\approx0,81707^{2}\approx0,6676.
Portanto
P(X=0)\approx0,6676.

Passo 5

Calcular P(X=1). Usando a fórmula da binomial com k=1:
P(X=1)=\binom{20}{1}\,p^{1}\,(1-p)^{19}=20\cdot p\cdot 0,98^{19}.
Podemos relacionar 0,98^{19} com 0,98^{20} por 0,98^{19}=0,98^{20}/0,98. Usando o valor anterior 0,98^{20}\approx0,6676 obtemos
0,98^{19}\approx\frac{0,6676}{0,98}\approx0,6800.
Logo
P(X=1)=20\cdot0,02\cdot0,98^{19}=0,4\cdot0,98^{19}\approx0,4\cdot0,6800\approx0,2720.

Passo 6

Agora juntamos para obter P(X\ge2):
P(X\ge2)=1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)\bigr]\approx1-(0,6676+0,2720)=1-0,9396=0,0604.
Interpretação: a probabilidade de um pacote ter pelo menos 2 sementes que não germinam é aproximadamente 0,0604, ou 6,04\%.

Passo 7

Calcular quantos pacotes se espera indenizar entre 1000 pacotes.
  • Se a probabilidade de indenizar um pacote é P(X\ge2), para N=1000 pacotes independentes o número esperado de pacotes indenizados é
\text{esperança} = N\cdot P(X\ge2).ç
  • Substituindo N=1000 e P(X\ge2)\approx0,0604:
\text{esperança}\approx1000\cdot0,0604=60,4.ç
Interpretação prática: espera-se cerca de 60 pacotes indenizados (o valor esperado é 60,4, que normalmente se interpreta como aproximadamente 60 pacotes).

Resposta

P(X\ge2)\approx0,0604 ( 6,04\%)
1000\cdot P(X\ge2)\approx60,4 pacotes (aprox. 60 pacotes)

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