- Seja uma v.a.
com função de probabilidade dada na tabela a seguir:
1
2
3
4
5
a) Encontre o valor de
para que
seja, de fato, uma função de probabilidade.
b) Calcule
e
. R:
e 2/9.
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
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|
|
|
|
b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória discreta
com suporte
e com função massa de probabilidade (PMF) indicada na tabela:
O que o exercício pede:
- (a) Encontrar o valor de
para que seja uma função de probabilidade válida. - (b) Calcular
e .
Informações relevantes dadas: os valores da PMF em cada ponto estão listados na tabela acima (peguei esses valores da tabela do enunciado).
Passo 2
Conceito importante (mini-aula): o que é uma função massa de probabilidade (PMF) para uma variável aleatória discreta?
- Uma função
é uma PMF válida se satisfaça duas condições: - Para todo
do suporte, . - A soma das probabilidades de todos os pontos do suporte é
: .
- Para todo
Aqui temos explicitamente as probabilidades em função de
. A condição (1) nos diz que precisamos de
tal que todos os valores
e
sejam não-negativos (isso exige
), e a condição (2) vai fornecer uma equação para determinar
.
Passo 3
Escrevo a condição de normalização (soma das probabilidades igual a 1) usando os valores da tabela:
Substituindo os valores da tabela:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 4
Resolvo a equação quadrática obtida:
Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
, as raízes são
Aqui
,
,
. Calculo o discriminante:
Portanto as raízes são
Passo 5
Calculo as duas raízes explicitamente:
- Com o sinal
:
- Com o sinal
:
Como
representa uma probabilidade ou dá origem a probabilidades
e
, devemos ter
. Logo a raiz
é inválida. Portanto
Passo 6
Verificação rápida (boa prática): substituo
nas probabilidades da tabela:
Há três lugares com
, somam
. Há dois lugares com
, somam
. Soma total
. Tudo coerente.
Passo 7
Agora calculo
. Por definição,
Usando a tabela isso é
Substituindo
:
Para somar frações, lembro que
, então
Passo 8
Agora calculo
. Por definição,
Pela tabela isso é
Substituindo
: