1. Seja uma v.a. X com função de probabilidade dada na tabela a seguir:
x 1 2 3 4 5
f_{X}(x) p^{2} p^{2} p p p^{2}
a) Encontre o valor de p para que f x(x) seja, de fato, uma função de probabilidade. \mathbf{R}: \mathbf{p}=\mathbf{1} / \mathbf{3}
b) Calcule \mathrm{P}(\mathrm{X} \geq 4) e \mathrm{P}(\mathrm{X}<3). R: \mathbf{4 / 9} e 2/9.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X com suporte \{1,2,3,4,5\} e com função massa de probabilidade (PMF) indicada na tabela:
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline f_X(x) & p^{2} & p^{2} & p & p & p^{2} \end{array}
O que o exercício pede:
  1. (a) Encontrar o valor de p para que f_X(x) seja uma função de probabilidade válida.
  2. (b) Calcular \mathrm{P}(X\geq 4) e \mathrm{P}(X<3).
Informações relevantes dadas: os valores da PMF em cada ponto estão listados na tabela acima (peguei esses valores da tabela do enunciado).

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): o que é uma função massa de probabilidade (PMF) para uma variável aleatória discreta?
  • Uma função f_X(x) é uma PMF válida se satisfaça duas condições:
    1. Para todo x do suporte, f_X(x)\geq 0.
    2. A soma das probabilidades de todos os pontos do suporte é 1: \displaystyle \sum_{x} f_X(x)=1.
Aqui temos explicitamente as probabilidades em função de p. A condição (1) nos diz que precisamos de p tal que todos os valores p e p^2 sejam não-negativos (isso exige p\ge 0), e a condição (2) vai fornecer uma equação para determinar p.

Passo 3

Escrevo a condição de normalização (soma das probabilidades igual a 1) usando os valores da tabela:
f_X(1)+f_X(2)+f_X(3)+f_X(4)+f_X(5)=1.
Substituindo os valores da tabela:
p^{2}+p^{2}+p+p+p^{2}=1.
Agrupando termos semelhantes:
3p^{2}+2p=1.

Passo 4

Resolvo a equação quadrática obtida:
3p^{2}+2p-1=0.
Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação \displaystyle ap^{2}+bp+c=0, as raízes são
p=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=3, b=2, c=-1. Calculo o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16.
Portanto as raízes são
p=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2\cdot 3}=\frac{-2\pm 4}{6}.

Passo 5

Calculo as duas raízes explicitamente:
  1. Com o sinal +:
p=\frac{-2+4}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
  1. Com o sinal -:
p=\frac{-2-4}{6}=\frac{-6}{6}=-1.
Como p representa uma probabilidade ou dá origem a probabilidades p e p^2, devemos ter p\ge 0. Logo a raiz -1 é inválida. Portanto
p=\frac{1}{3}.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática): substituo p=\tfrac{1}{3} nas probabilidades da tabela:
p^{2}=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}=\tfrac{1}{9}.
Há três lugares com p^{2}, somam 3\cdot \tfrac{1}{9}=\tfrac{1}{3}. Há dois lugares com p, somam 2\cdot \tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}. Soma total \tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}=1. Tudo coerente.

Passo 7

Agora calculo \mathrm{P}(X\geq 4). Por definição,
\mathrm{P}(X\geq 4)=\mathrm{P}(X=4)+\mathrm{P}(X=5).
Usando a tabela isso é
\mathrm{P}(X\geq 4)=p+p^{2}.
Substituindo p=\tfrac{1}{3}:
\mathrm{P}(X\geq 4)=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{9}.
Para somar frações, lembro que \tfrac{1}{3}=\tfrac{3}{9}, então
\mathrm{P}(X\geq 4)=\tfrac{3}{9}+\tfrac{1}{9}=\tfrac{4}{9}.

Passo 8

Agora calculo \mathrm{P}(X<3). Por definição,
\mathrm{P}(X<3)=\mathrm{P}(X=1)+\mathrm{P}(X=2).
Pela tabela isso é
\mathrm{P}(X<3)=p^{2}+p^{2}=2p^{2}.
Substituindo p=\tfrac{1}{3}:
\mathrm{P}(X<3)=2\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}=2\cdot \tfrac{1}{9}=\tfrac{2}{9}.

Resposta

\displaystyle p=\frac{1}{3}
\displaystyle \mathrm{P}(X\geq 4)=\frac{4}{9}
\displaystyle \mathrm{P}(X<3)=\frac{2}{9}

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