Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém
de tubos defeituosos.
b) Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação que produz
de itens aceitáveis. Qual a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis?
b) Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação que produz
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis?”
Informações dadas (tudo tirado do enunciado):
Informações dadas (tudo tirado do enunciado):
- Tamanho da amostra:
. - Probabilidade de um item ser aceitável:
, isto é . - Queremos a probabilidade de exatamente
itens aceitáveis na amostra de .
Passo 2
Modelo adequado e fórmula (explicação didática):
Quando temos um número fixo de tentativas independentes ( ) e cada tentativa tem apenas duas possibilidades (sucesso = “item aceitável” com probabilidade
, ou fracasso com probabilidade
), e queremos a probabilidade de exatamente
sucessos, usamos a distribuição binomial. A fórmula é:
Quando temos um número fixo de tentativas independentes (
Aqui:
-
é a variável aleatória que conta quantos itens aceitáveis aparecem na amostra. -
é o número de maneiras de escolher quais das posições são sucessos (combinações). -
é a probabilidade de ocorrerem sucessos específicos. -
é a probabilidade dos fracassos restantes.
Essa fórmula multiplica “quantas sequências diferentes” geram exatamentesucessos pelo produto das probabilidades de uma sequência típica com sucessos e fracassos.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
,
,
:
Escrevemos a probabilidade exata em forma fechada:
Escrevemos a probabilidade exata em forma fechada:
Observação: usei
para
porque
.
Passo 4
Calcular o coeficiente combinatório
:
Usamos (porque escolher 10 é o mesmo que escolher os 5 que não são escolhidos) e
Usamos
Calculando passo a passo:
e o denominador
. Então
Passo 5
Calcular as potências e o produto numérico (de forma que você consiga refazer no papel sem calculadora):
Primeiro as potências de e
. Vou trabalhar com a forma decimal para facilitar a aproximação numérica:
e
.
Primeiro as potências de
Calcule
Calcule
Calcule (multiplicação direta).
Então
Calcule
Calcule
Então
Calcule
Calcule
Então
Calcule
Então
Agora multiplique as partes:
Por fim multiplica pelo coeficiente combinatório:
Passo 6
Interpretação e arredondamento final:
A probabilidade de exatamente 10 dos 15 itens serem aceitáveis é aproximadamente , ou seja cerca de
. Isso significa que, em média, em amostras de 15 itens retiradas desse processo com
de aceitáveis, cerca de 4,49% das amostras terão exatamente 10 aceitáveis.
A probabilidade de exatamente 10 dos 15 itens serem aceitáveis é aproximadamente