Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20 \% de tubos defeituosos.
b) Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação que produz 85 \% de itens aceitáveis. Qual a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis?”
Informações dadas (tudo tirado do enunciado):
  • Tamanho da amostra: \,n=15.
  • Probabilidade de um item ser aceitável: \,p=85\%, isto é \,p=\tfrac{85}{100}=\tfrac{17}{20}.
  • Queremos a probabilidade de exatamente \,k=10 itens aceitáveis na amostra de \,n=15.

Passo 2

Modelo adequado e fórmula (explicação didática):
Quando temos um número fixo de tentativas independentes ( n) e cada tentativa tem apenas duas possibilidades (sucesso = “item aceitável” com probabilidade p, ou fracasso com probabilidade 1-p), e queremos a probabilidade de exatamente k sucessos, usamos a distribuição binomial. A fórmula é:
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}.
Aqui:
  • \,X é a variável aleatória que conta quantos itens aceitáveis aparecem na amostra.
  • \,\binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k das n posições são sucessos (combinações).
  • \,p^{k} é a probabilidade de ocorrerem k sucessos específicos.
  • \,(1-p)^{n-k} é a probabilidade dos n-k fracassos restantes.
    Essa fórmula multiplica “quantas sequências diferentes” geram exatamente k sucessos pelo produto das probabilidades de uma sequência típica com k sucessos e n-k fracassos.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso com \,n=15, \,k=10, \,p=\tfrac{17}{20}:
Escrevemos a probabilidade exata em forma fechada:
\Pr(X=10)=\binom{15}{10}\left(\tfrac{17}{20}\right)^{10}\left(\tfrac{3}{20}\right)^{5}.
Observação: usei \tfrac{3}{20} para (1-p) porque \,1-p=1-\tfrac{17}{20}=\tfrac{3}{20}.

Passo 4

Calcular o coeficiente combinatório \binom{15}{10}:
Usamos \binom{15}{10}=\binom{15}{5} (porque escolher 10 é o mesmo que escolher os 5 que não são escolhidos) e
\binom{15}{5}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Calculando passo a passo:
15\cdot14=210,
210\cdot13=2730,
2730\cdot12=32760,
32760\cdot11=360360,
e o denominador 5!=120. Então
\binom{15}{10}=\frac{360360}{120}=3003.

Passo 5

Calcular as potências e o produto numérico (de forma que você consiga refazer no papel sem calculadora):
Primeiro as potências de \,p=0,85 e \,1-p=0,15. Vou trabalhar com a forma decimal para facilitar a aproximação numérica: \,p=0,85 e \,1-p=0,15.
Calcule (0,85)^{2}=0,7225.
Calcule (0,85)^{4}=(0,7225)^{2}=0,52200625.
Calcule (0,85)^{8}=(0,52200625)^{2}\approx0,272488516 (multiplicação direta).
Então
(0,85)^{10}=(0,85)^{8}\cdot(0,85)^{2}\approx0,272488516\cdot0,7225\approx0,19687375.
Calcule (0,15)^{2}=0,0225.
Calcule (0,15)^{4}=(0,0225)^{2}=0,00050625.
Então
(0,15)^{5}=(0,15)^{4}\cdot(0,15)=0,00050625\cdot0,15=0,0000759375.
Agora multiplique as partes:
(0,85)^{10}\,(0,15)^{5}\approx0,19687375\cdot0,0000759375\approx0,0000149501.
Por fim multiplica pelo coeficiente combinatório:
\Pr(X=10)=3003\cdot0,0000149501\approx0,044895.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final:
A probabilidade de exatamente 10 dos 15 itens serem aceitáveis é aproximadamente 0,0449, ou seja cerca de 4,49\%. Isso significa que, em média, em amostras de 15 itens retiradas desse processo com 85\% de aceitáveis, cerca de 4,49% das amostras terão exatamente 10 aceitáveis.

Resposta

\Pr(X=10)\approx0,0449

Exercícios relacionados