Na loteria são sorteados 5 dezenas distintas dentre as dezenas 00,01,02,03, \ldots, 99. Um apostador escolhe 10 dezenas. Determine a probabilidade dele fazer:
Uma quadra

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de o apostador “fazer uma quadra”, ou seja, acertar exatamente 4 das 5 dezenas sorteadas. Informações dadas:
  • As dezenas possíveis são 00,01,\dots,99, isto é, 100 dezenas no total.
  • No sorteio saem 5 dezenas distintas.
  • O apostador escolhe 10 dezenas distintas.
  • Queremos a probabilidade de exatamente 4 acertos entre as 5 dezenas sorteadas.

Passo 2

Ideia geral para resolver (sem ainda calcular): vamos contar quantos resultados do sorteio levam a exatamente 4 acertos para o apostador (casos favoráveis) e dividir pelo número total de resultados possíveis do sorteio. Isso é a clássica contagem por combinações: número de maneiras de escolher subconjuntos de tamanho fixo.

Passo 3

Relembrando combinações: a combinação \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k elementos distintos de um conjunto com n elementos, sem considerar ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}.
Aqui n é o total de elementos disponíveis e k é quantos escolhemos. Exemplo simples: \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.

Passo 4

Contagem dos casos favoráveis (exatamente 4 acertos):
  • O apostador tem 10 dezenas; para acertar exatamente 4 das 5 sorteadas, devemos escolher quais 4 dentre as 10 dele aparecem no sorteio. Isso pode ser feito de \binom{10}{4} maneiras.
  • A quinta dezena sorteada (a que ele erra) deve ser uma das dezenas que ele não escolheu. Há 100-10=90 dezenas fora da sua aposta, e essa quinta deve ser escolhida entre elas: \binom{90}{1} maneiras.
    Como as duas escolhas são independentes no sentido de contagem (escolher 4 das suas e 1 das não suas), o total de casos favoráveis é
\binom{10}{4}\cdot\binom{90}{1}.

Passo 5

Contagem do número total de resultados do sorteio: o sorteio seleciona 5 dezenas dentre 100, sem ordem, então o total é
\binom{100}{5}.

Passo 6

Assim, a probabilidade pedida é o quociente
P(\text{quadra})=\frac{\binom{10}{4}\cdot\binom{90}{1}}{\binom{100}{5}}.
Agora vamos calcular numericamente passo a passo para ficar claro como fazer sem calculadora (usando simplificações manuais quando possível).

Passo 7

Calculemos os combinatórios simples:
\binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210, \qquad \binom{90}{1}=90.
Logo o numerador é 210\cdot90=18900.
O denominador pode ser calculado pela fórmula de produto:
\binom{100}{5}=\frac{100\cdot99\cdot98\cdot97\cdot96}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazendo as multiplicações e divisões (ou lembrando do valor conhecido), obtemos
\binom{100}{5}=75\,287\,520.
Podemos simplificar a fração \dfrac{18900}{75\,287\,520}. Dividindo numerador e denominador por 180 ou por fatores comuns chega-se a
\frac{18900}{75\,287\,520}=\frac{105}{418\,264}.

Passo 8

Converter para decimal e porcentagem para intuir a magnitude:
\frac{105}{418\,264}\approx 0,00025104,
ou seja aproximadamente 0{,}025104\% (cerca de 2{,}51\cdot 10^{-2}\%).

Resposta

\frac{\binom{10}{4}\binom{90}{1}}{\binom{100}{5}}=\frac{18900}{75\,287\,520}=\frac{105}{418\,264}\approx0,00025104

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