Na loteria são sorteados 5 dezenas distintas dentre as dezenas
. Um apostador escolhe 10 dezenas. Determine a probabilidade dele fazer:
Uma quadra
Uma quadra
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de o apostador “fazer uma quadra”, ou seja, acertar exatamente 4 das 5 dezenas sorteadas. Informações dadas:
- As dezenas possíveis são
, isto é, dezenas no total. - No sorteio saem
dezenas distintas. - O apostador escolhe
dezenas distintas. - Queremos a probabilidade de exatamente
acertos entre as dezenas sorteadas.
Passo 2
Ideia geral para resolver (sem ainda calcular): vamos contar quantos resultados do sorteio levam a exatamente
acertos para o apostador (casos favoráveis) e dividir pelo número total de resultados possíveis do sorteio. Isso é a clássica contagem por combinações: número de maneiras de escolher subconjuntos de tamanho fixo.
Passo 3
Relembrando combinações: a combinação
é o número de maneiras de escolher
elementos distintos de um conjunto com
elementos, sem considerar ordem. A fórmula é
Aqui
é o total de elementos disponíveis e
é quantos escolhemos. Exemplo simples:
.
Passo 4
Contagem dos casos favoráveis (exatamente
acertos):
- O apostador tem
dezenas; para acertar exatamente das sorteadas, devemos escolher quais dentre as dele aparecem no sorteio. Isso pode ser feito de maneiras. - A quinta dezena sorteada (a que ele erra) deve ser uma das dezenas que ele não escolheu. Há
dezenas fora da sua aposta, e essa quinta deve ser escolhida entre elas: maneiras.
Como as duas escolhas são independentes no sentido de contagem (escolher 4 das suas e 1 das não suas), o total de casos favoráveis é
Passo 5
Contagem do número total de resultados do sorteio: o sorteio seleciona
dezenas dentre
, sem ordem, então o total é
Passo 6
Assim, a probabilidade pedida é o quociente
Agora vamos calcular numericamente passo a passo para ficar claro como fazer sem calculadora (usando simplificações manuais quando possível).
Passo 7
Calculemos os combinatórios simples:
Logo o numerador é
.
O denominador pode ser calculado pela fórmula de produto:
Fazendo as multiplicações e divisões (ou lembrando do valor conhecido), obtemos
Podemos simplificar a fração
. Dividindo numerador e denominador por
ou por fatores comuns chega-se a
Passo 8
Converter para decimal e porcentagem para intuir a magnitude:
ou seja aproximadamente
(cerca de
).