Na loteria são sorteados 5 dezenas distintas dentre as dezenas
. Um apostador escolhe 10 dezenas. Determine a probabilidade dele fazer:
A quina
A quina
Passo 1
O enunciado diz que, dentre as dezenas
(ou seja,
dezenas no total), são sorteadas
dezenas distintas. Um apostador escolhe
dezenas. A pergunta é: qual a probabilidade desse apostador acertar a quina (isto é, acertar as
dezenas sorteadas)?
Informações relevantes do enunciado:
- Espaço de dezenas:
(de a ). - São sorteadas
dezenas distintas. - O apostador escolhe
dezenas. - Queremos a probabilidade de que as
dezenas sorteadas estejam todas entre as escolhidas (quina).
Passo 2
Modelagem do espaço amostral (todas as possibilidades igualmente prováveis): qualquer conjunto de
dezenas dentre as
é uma sequência possível do sorteio, sem ordem. O número de conjuntos possíveis de
dezenas entre
é dado por uma combinação:
Explicação do conceito de combinação:
representa o número de maneiras de escolher
objetos dentre
sem considerar ordem e sem repetição. A fórmula é
onde
(fatorial de
) é
. Exemplo pequeno:
.
Passo 3
Contagem dos casos favoráveis (sorteios que dão quina ao apostador): para que o apostador acerte as
dezenas, o conjunto sorteado de
dezenas tem que ser um subconjunto das
dezenas que ele escolheu. O número de conjuntos de
dezenas que podem sair entre as
escolhidas é
Raciocínio: dentre as
dezenas marcadas, escolhemos exatamente as
que serão as sorteadas; a ordem não importa.
Passo 4
Fórmula da probabilidade e substituição:
a probabilidade pedida é a razão entre casos favoráveis e casos totais, logo
a probabilidade pedida é a razão entre casos favoráveis e casos totais, logo
Agora calculamos os valores numéricos.
Calculemos
:
Calculemos
:
Vamos multiplicar e dividir por
(que é
):
Portanto
Passo 5
Substituindo os números na fração:
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
Em forma decimal aproximada isso é cerca de
(opcional).
Passo 6
Interpretação final e motivação: a probabilidade de acertar a quina com uma aposta de
dezenas num sorteio de
dezenas entre
é muito pequena:
chance em
. Fica a dica: a combinação é a ferramenta-chave aqui — conte o total de resultados possíveis e o número de resultados favoráveis e faça a razão. Você está indo bem — respira, repassa esses passos e faz mais exercícios semelhantes para fixar!