Na loteria são sorteados 5 dezenas distintas dentre as dezenas 00,01,02,03, \ldots, 99. Um apostador escolhe 10 dezenas. Determine a probabilidade dele fazer:
A quina

Passo 1

O enunciado diz que, dentre as dezenas ...,00,01,02,\ldots,99 (ou seja, 100 dezenas no total), são sorteadas 5 dezenas distintas. Um apostador escolhe 10 dezenas. A pergunta é: qual a probabilidade desse apostador acertar a quina (isto é, acertar as 5 dezenas sorteadas)?
Informações relevantes do enunciado:
  • Espaço de dezenas: 100 (de 00 a 99).
  • São sorteadas 5 dezenas distintas.
  • O apostador escolhe 10 dezenas.
  • Queremos a probabilidade de que as 5 dezenas sorteadas estejam todas entre as 10 escolhidas (quina).

Passo 2

Modelagem do espaço amostral (todas as possibilidades igualmente prováveis): qualquer conjunto de 5 dezenas dentre as 100 é uma sequência possível do sorteio, sem ordem. O número de conjuntos possíveis de 5 dezenas entre 100 é dado por uma combinação:
\binom{100}{5}
Explicação do conceito de combinação: \binom{n}{k} representa o número de maneiras de escolher k objetos dentre n sem considerar ordem e sem repetição. A fórmula é
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 1. Exemplo pequeno: \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2!}=10.

Passo 3

Contagem dos casos favoráveis (sorteios que dão quina ao apostador): para que o apostador acerte as 5 dezenas, o conjunto sorteado de 5 dezenas tem que ser um subconjunto das 10 dezenas que ele escolheu. O número de conjuntos de 5 dezenas que podem sair entre as 10 escolhidas é
\binom{10}{5}.
Raciocínio: dentre as 10 dezenas marcadas, escolhemos exatamente as 5 que serão as sorteadas; a ordem não importa.

Passo 4

Fórmula da probabilidade e substituição:
a probabilidade pedida é a razão entre casos favoráveis e casos totais, logo
\text{Probabilidade} = \frac{\binom{10}{5}}{\binom{100}{5}}.
Agora calculamos os valores numéricos.
Calculemos \binom{10}{5}:
\binom{10}{5} = \frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5!} = \frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{120} = 252.
Calculemos \binom{100}{5}:
\binom{100}{5} = \frac{100\cdot99\cdot98\cdot97\cdot96}{5!}.
Vamos multiplicar e dividir por 120 (que é 5!):
100\cdot99 = 9900,
9900\cdot98 = 970200,
970200\cdot97 = 94109400,
94109400\cdot96 = 9034502400,
\frac{9034502400}{120} = 75287520.
Portanto
\binom{100}{5} = 75287520.

Passo 5

Substituindo os números na fração:
\text{Probabilidade} = \frac{252}{75287520}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 252:
\frac{252}{75287520} = \frac{1}{298760}.
Em forma decimal aproximada isso é cerca de 0{,}000003348 (opcional).

Passo 6

Interpretação final e motivação: a probabilidade de acertar a quina com uma aposta de 10 dezenas num sorteio de 5 dezenas entre 100 é muito pequena: 1 chance em 298{,}760. Fica a dica: a combinação é a ferramenta-chave aqui — conte o total de resultados possíveis e o número de resultados favoráveis e faça a razão. Você está indo bem — respira, repassa esses passos e faz mais exercícios semelhantes para fixar!

Resposta

\displaystyle \frac{\binom{10}{5}}{\binom{100}{5}} = \frac{1}{298760}

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