Uma LT de comprimento igual a
e Z
é terminada por uma carga ZL. O coeficiente de onda estacionária
é igual a 3 . As localizações do
e
mínimos de tensão, em relação à carga, são de
e 8 m , respectivamente. Determine ZL. Repita o problema usando a Carta de Smith. Compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a impedância de carga
de uma linha de transmissão (LT) que tem as seguintes informações dadas:
- comprimento da LT:
, - impedância característica:
, - coeficiente de onda estacionária (SWR):
, - posições dos mínimos de tensão em relação à carga (medidas ao longo da linha, afastando-se da carga): primeiro mínimo em
e segundo mínimo em .
As perguntas implícitas são:
- Determinar o comprimento de onda
a partir das posições dos mínimos. - Determinar o coeficiente de reflexão
(magnitude e fase) usando e a posição dos mínimos. - Calcular
a partir de e . - Repetir o procedimento usando a Carta de Smith e comparar resultados.
Já identifiquei todas as informações relevantes acima. Agora vou resolver passo a passo, explicando a teoria necessária em cada etapa.
Passo 2
Entendendo como obter
a partir das posições dos mínimos:
- Em uma linha sem perdas, os mínimos de tensão sucessivos aparecem a uma distância
entre si. - A diferença entre as posições do 2.º e do 1.º mínimo nos dá
.
Aplicando isso:
Logo
Também calculo o comprimento físico da LT:
Observação: é normal que as posições dos mínimos informadas sejam números absolutos; usamos apenas a diferença para obter
— tudo consistente.
Passo 3
Relembrando a relação entre SWR e o módulo do coeficiente de reflexão:
- O SWR (ou
) está relacionado ao módulo de por
- Desta fórmula isolamos
:
Aplicando
:
Portanto o módulo do coeficiente de reflexão na carga é
.
Passo 4
Agora precisamos da fase de
. Para isso usamos a posição do primeiro mínimo medida a partir da carga.
Teoria (condição de mínimos):
- Se tomarmos
medido a partir da carga ao longo da linha em direção ao gerador, a expressão que determina os mínimos de tensão é
onde
é a constante de fase e
é a fase do coeficiente de reflexão avaliado na carga.
- A condição acima é equivalente a:
- Tomando o primeiro mínimo como
, obtemos
onde
é a posição do primeiro mínimo (distância da carga).
Aplicando com os números:
- Primeiro calculemos
:
- Tomando
,
- Então
Em graus,
radianos é aproximadamente
, mas vou manter a forma em radianos para os cálculos.
Portanto
tem módulo
e fase
.
Passo 5
Escrevendo
na forma complexa (rectangular):
- Primeiro escrevemos as componentes seno e cosseno:
- Calculando numericamente (valores aproximados):
Logo
Explicação didática rápida: isso significa que no local da carga a onda refletida tem metade da amplitude da onda incidente e está defasada de
rad.
Passo 6
Agora calculemos
a partir de
. Fórmula fundamental:
Explico por que: essa fórmula vem da relação entre tensão e corrente de onda incidente/ refletida na carga; é a transformação padrão entre coeficiente de reflexão e impedância normalizada.
Aplicando os valores:
- Primeiro calculemos
e :
- Agora fazemos a divisão complexa
onde
é o conjugado complexo e
é o quadrado do módulo (técnica padrão para dividir complexos).
Cálculo (valores aproximados):
- Produto no numerador (multiplicando por conjugado): resulta em aproximadamente
- Denominador (módulo ao quadrado):
- Dividindo:
Finalmente multiplicando por
:
Assim, a impedância de carga aproximada é
.
Passo 7
Interpretação e como fazer na prova (passo a passo prático):
- A diferença entre mínimos sucessivos =
. Use isso para achar . - Calcule
. - Use a posição do primeiro mínimo
e a condição para achar . - Use
para achar . - Forme
. - Use
e faça a divisão complexa (multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador). - Resultado final:
em forma .
Dica prática: em prova faça cálculos com cuidado, mantenha 3–4 casas decimais intermediárias e arredonde só no final.
Passo 8
Repetição usando a Carta de Smith (procedimento e comparação):
- Na Carta de Smith você traça o ponto correspondente ao coeficiente de reflexão
com magnitude e ângulo . - Esse ponto na Carta de Smith corresponde diretamente à impedância normalizada
- Lendo a Carta de Smith (procedimento prático): localizar a circunferência de raio
, girar até o ângulo e projetar para a grade de impedâncias; isso dá . - Multiplicando por
obtemos novamente .
Comparação: o resultado obtido analiticamente e o que se lê/obtém pela Carta de Smith coincidem (diferenças são apenas de arredondamento). Portanto a Carta de Smith confirma o cálculo analítico.