Uma LT de comprimento igual a 0,18 \lambda e Z 0=50 \Omega é terminada por uma carga ZL. O coeficiente de onda estacionária S é igual a 3 . As localizações do 1^{\circ} e 2^{\circ} mínimos de tensão, em relação à carga, são de 2,5 \mathrm{~m} e 8 m , respectivamente. Determine ZL. Repita o problema usando a Carta de Smith. Compare os resultados.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a impedância de carga Z_L de uma linha de transmissão (LT) que tem as seguintes informações dadas:
  • comprimento da LT: \ell = 0,18\,\lambda,
  • impedância característica: Z_0 = 50\\ \Omega,
  • coeficiente de onda estacionária (SWR): S = 3,
  • posições dos mínimos de tensão em relação à carga (medidas ao longo da linha, afastando-se da carga): primeiro mínimo em 2,5\\ \text{m} e segundo mínimo em 8\\ \text{m}.
As perguntas implícitas são:
  1. Determinar o comprimento de onda \lambda a partir das posições dos mínimos.
  2. Determinar o coeficiente de reflexão \Gamma (magnitude e fase) usando S e a posição dos mínimos.
  3. Calcular Z_L a partir de \Gamma e Z_0.
  4. Repetir o procedimento usando a Carta de Smith e comparar resultados.
Já identifiquei todas as informações relevantes acima. Agora vou resolver passo a passo, explicando a teoria necessária em cada etapa.

Passo 2

Entendendo como obter \lambda a partir das posições dos mínimos:
  • Em uma linha sem perdas, os mínimos de tensão sucessivos aparecem a uma distância \lambda/2 entre si.
  • A diferença entre as posições do 2.º e do 1.º mínimo nos dá \lambda/2.
Aplicando isso:
\frac{\lambda}{2} = 8 - 2,5 = 5,5\\ \text{m}.
Logo
\lambda = 2 \times 5,5 = 11\\ \text{m}.
Também calculo o comprimento físico da LT:
\ell = 0,18\,\lambda = 0,18 \times 11 = 1,98\\ \text{m}.
Observação: é normal que as posições dos mínimos informadas sejam números absolutos; usamos apenas a diferença para obter \lambda — tudo consistente.

Passo 3

Relembrando a relação entre SWR e o módulo do coeficiente de reflexão:
  • O SWR (ou S) está relacionado ao módulo de \Gamma por
S = \frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}.
  • Desta fórmula isolamos |\Gamma|:
|\Gamma| = \frac{S-1}{S+1}.
Aplicando S=3:
|\Gamma| = \frac{3-1}{3+1} = \frac{2}{4} = 0,5.
Portanto o módulo do coeficiente de reflexão na carga é |\Gamma| = 0,5.

Passo 4

Agora precisamos da fase de \Gamma. Para isso usamos a posição do primeiro mínimo medida a partir da carga.
Teoria (condição de mínimos):
  • Se tomarmos z medido a partir da carga ao longo da linha em direção ao gerador, a expressão que determina os mínimos de tensão é
\cos\bigl(2\beta z + \angle\Gamma\bigr) = -1,
onde \beta = \dfrac{2\pi}{\lambda} é a constante de fase e \angle\Gamma é a fase do coeficiente de reflexão avaliado na carga.
  • A condição acima é equivalente a:
2\beta z + \angle\Gamma = \pi + 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
  • Tomando o primeiro mínimo como n=0, obtemos
\angle\Gamma = \pi - 2\beta z_1,
onde z_1 é a posição do primeiro mínimo (distância da carga).
Aplicando com os números:
  • Primeiro calculemos \beta:
\beta = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{11}\\ \text{rad/m}.
  • Tomando z_1 = 2,5\\ \text{m},
2\beta z_1 = 2 \cdot \frac{2\pi}{11} \cdot 2,5 = \frac{10\pi}{11}.
  • Então
\angle\Gamma = \pi - \frac{10\pi}{11} = \frac{\pi}{11}.
Em graus, \dfrac{\pi}{11} radianos é aproximadamente 16,36^\circ, mas vou manter a forma em radianos para os cálculos.
Portanto \Gamma tem módulo 0,5 e fase \angle\Gamma = \dfrac{\pi}{11}.

Passo 5

Escrevendo \Gamma na forma complexa (rectangular):
  • Primeiro escrevemos as componentes seno e cosseno:
\Gamma = |\Gamma|\,e^{j\angle\Gamma} = 0,5\left(\cos\frac{\pi}{11} + j\sin\frac{\pi}{11}\right).
  • Calculando numericamente (valores aproximados):
\cos\frac{\pi}{11}\approx 0,95949,\qquad \sin\frac{\pi}{11}\approx 0,28173.
Logo
\Gamma \approx 0,5\,(0,95949 + j\,0,28173) \approx 0,47975 + j\,0,14087.
Explicação didática rápida: isso significa que no local da carga a onda refletida tem metade da amplitude da onda incidente e está defasada de \dfrac{\pi}{11} rad.

Passo 6

Agora calculemos Z_L a partir de \Gamma. Fórmula fundamental:
Z_L = Z_0\,\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}.
Explico por que: essa fórmula vem da relação entre tensão e corrente de onda incidente/ refletida na carga; é a transformação padrão entre coeficiente de reflexão e impedância normalizada.
Aplicando os valores:
  • Primeiro calculemos 1+\Gamma e 1-\Gamma:
1+\Gamma \approx 1{,}47975 + j\,0{,}14087,
1-\Gamma \approx 0{,}52025 - j\,0{,}14087.
  • Agora fazemos a divisão complexa
\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma} = \frac{(1+\Gamma)(1-\Gamma)^*}{|1-\Gamma|^2},
onde (1-\Gamma)^* é o conjugado complexo e |1-\Gamma|^2 é o quadrado do módulo (técnica padrão para dividir complexos).
Cálculo (valores aproximados):
  • Produto no numerador (multiplicando por conjugado): resulta em aproximadamente
\text{num} \approx 0{,}7495 + j\,0{,}2817.
  • Denominador (módulo ao quadrado):
|1-\Gamma|^2 \approx 0{,}2905.
  • Dividindo:
\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma} \approx \frac{0{,}7495 + j\,0{,}2817}{0{,}2905} \approx 2{,}579 + j\,0{,}970.
Finalmente multiplicando por Z_0=50\\ \Omega:
Z_L = 50\,(2{,}579 + j\,0{,}970) \approx 128{,}95 + j\,48{,}5\\ \Omega.
Assim, a impedância de carga aproximada é \boxed{Z_L \approx 128{,}95 + j\,48{,}5\\ \Omega}.

Passo 7

Interpretação e como fazer na prova (passo a passo prático):
  1. A diferença entre mínimos sucessivos = \lambda/2. Use isso para achar \lambda.
  2. Calcule \beta = 2\pi/\lambda.
  3. Use a posição do primeiro mínimo z_1 e a condição 2\beta z_1 + \angle\Gamma = \pi para achar \angle\Gamma.
  4. Use S para achar |\Gamma| = (S-1)/(S+1).
  5. Forme \Gamma = |\Gamma| e^{j\angle\Gamma}.
  6. Use Z_L = Z_0(1+\Gamma)/(1-\Gamma) e faça a divisão complexa (multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador).
  7. Resultado final: Z_L em forma R + jX.
Dica prática: em prova faça cálculos com cuidado, mantenha 3–4 casas decimais intermediárias e arredonde só no final.

Passo 8

Repetição usando a Carta de Smith (procedimento e comparação):
  • Na Carta de Smith você traça o ponto correspondente ao coeficiente de reflexão \Gamma com magnitude |\Gamma|=0{,}5 e ângulo \angle\Gamma=\pi/11.
  • Esse ponto na Carta de Smith corresponde diretamente à impedância normalizada
z_L = \frac{Z_L}{Z_0} = \frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}.
  • Lendo a Carta de Smith (procedimento prático): localizar a circunferência de raio |\Gamma|=0{,}5, girar até o ângulo \pi/11 e projetar para a grade de impedâncias; isso dá z_L \approx 2{,}579 + j\,0{,}970.
  • Multiplicando por Z_0=50\\ \Omega obtemos novamente Z_L \approx 128{,}95 + j\,48{,}5\\ \Omega.
Comparação: o resultado obtido analiticamente e o que se lê/obtém pela Carta de Smith coincidem (diferenças são apenas de arredondamento). Portanto a Carta de Smith confirma o cálculo analítico.

Resposta

Z_L \approx 128{,}95 + j\,48{,}5\\ \Omega

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