onde D=[-1,1] \times[0,2 \pi].
(a) Calcule a área da superffcie S.
(b) Calcule a aplicação normal de Gauss N(u, v), i.e., o campo nonnal unitário a S.
(c) A equação cartesiana do plano tangente a S no ponto X(0,0).
(d) Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=z \vec{i}+x \vec{j}+y \vec{k} através de S.
Obs: Lembre que \operatorname{cosh} u=\frac{\mathrm{c}^{\prime \prime}+\mathrm{c}^{-\prime}}{2}.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização da superfície de revolução S=X(D) por
Vamos precisar das derivadas parciais \partial_u X e \partial_v X, do produto vetorial \partial_u X\times\partial_v X (que fornece a área elementar e a orientação), e da avaliação de F em X(u,v). Não há orientação explicitamente pedida; usarei a orientação dada por \partial_u X\times\partial_v X.
Passo 2
Cálculo das derivadas parciais e do produto vetorial (a base para área e normal).
Primeiro calculemos \partial_u X e \partial_v X. Lembre aqui as derivadas: a derivada de \operatorname{cosh} u é \operatorname{sinh} u, e de \cos v é -\sin v.
\|\partial_u X\times\partial_v X\|^2 = \operatorname{cosh}^2 u + \operatorname{sinh}^2 u\operatorname{cosh}^2 u = \operatorname{cosh}^2 u\big(1+\operatorname{sinh}^2 u\big).
Usando a identidade hiperbólica 1+\operatorname{sinh}^2 u=\operatorname{cosh}^2 u, obtemos
\|\partial_u X\times\partial_v X\|^2 = \operatorname{cosh}^2 u\cdot\operatorname{cosh}^2 u=\operatorname{cosh}^4 u.
Como a norma é positiva,
\|\partial_u X\times\partial_v X\| = \operatorname{cosh}^2 u.
Observação didática: esse resultado significa que o elemento de área na parametrização é \mathrm{d}S=\|\partial_u X\times\partial_v X\|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v=\operatorname{cosh}^2 u\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v. Em provas, sempre verifique a norma do produto vetorial; muitas vezes simplifica com identidades trigonométricas/hiperbólicas.
Passo 4
Cálculo da área total de S usando a fórmula da área de superfície parametrizada:
Avalio os termos: \operatorname{sinh}(2u) é função ímpar, logo \operatorname{sinh}(2)-\operatorname{sinh}(-2)=2\operatorname{sinh} 2; o termo u dá 1-(-1)=2. Assim
Cálculo da aplicação normal de Gauss N(u,v).
A aplicação normal unitária pode ser obtida normalizando o produto vetorial \partial_u X\times\partial_v X:
Portanto o plano tangente é x=1. (É intuitivo: em u=0 a superfície tem normal na direção -\vec{i}, então a tangente é o plano vertical x=1.)
Passo 7
Cálculo do fluxo do campo F(x,y,z)=z\,\vec{i}+x\,\vec{j}+y\,\vec{k} através de S.
Usamos a forma parametrizada do fluxo com orientação dada por \partial_u X\times\partial_v X:
Portanto, a integral dupla sobre D de cada termo em v é zero, e assim o fluxo total é
\Phi = 0.
Explicação intuitiva: o campo F avaliado na superfície tem componentes que, quando multiplicadas pelo elemento orientado de área e integradas em v sobre um ciclo completo, cancelam-se devido à simetria periódica em v.
Resposta
Área: \pi\operatorname{sinh} 2 + 2\pi
Normal de Gauss: N(u,v)=\Big(-\dfrac{\cos v}{\operatorname{cosh} u},\; -\dfrac{\sin v}{\operatorname{cosh} u},\; \operatorname{tanh} u\Big)