5 (2 pontos) Considere a superfície de revolução S=X(D), com parametrização X: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
X(u, v)=(\operatorname{cosh} (u) \cos v, \operatorname{cosh} (u) \sin v, u),
onde D=[-1,1] \times[0,2 \pi].
(a) Calcule a área da superffcie S.
(b) Calcule a aplicação normal de Gauss N(u, v), i.e., o campo nonnal unitário a S.
(c) A equação cartesiana do plano tangente a S no ponto X(0,0).
(d) Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=z \vec{i}+x \vec{j}+y \vec{k} através de S.
Obs: Lembre que \operatorname{cosh} u=\frac{\mathrm{c}^{\prime \prime}+\mathrm{c}^{-\prime}}{2}.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização da superfície de revolução S=X(D) por
X(u,v) = (\operatorname{cosh}(u)\cos v,\;\operatorname{cosh}(u)\sin v,\;u),
com (u,v)\in D=[-1,1]\times[0,2\pi].
Perguntas:
  1. Calcular a área de S.
  2. Calcular a aplicação normal de Gauss N(u,v) (campo normal unitário).
  3. Obter a equação cartesiana do plano tangente a S no ponto X(0,0).
  4. Determinar o fluxo do campo vetorial F(x,y,z)=z\,\vec{i}+x\,\vec{j}+y\,\vec{k} através de S.
Informações relevantes dadas:
X(u,v)=(\operatorname{cosh} u\cos v,\;\operatorname{cosh} u\sin v,\;u).
Vamos precisar das derivadas parciais \partial_u X e \partial_v X, do produto vetorial \partial_u X\times\partial_v X (que fornece a área elementar e a orientação), e da avaliação de F em X(u,v). Não há orientação explicitamente pedida; usarei a orientação dada por \partial_u X\times\partial_v X.

Passo 2

Cálculo das derivadas parciais e do produto vetorial (a base para área e normal).
Primeiro calculemos \partial_u X e \partial_v X. Lembre aqui as derivadas: a derivada de \operatorname{cosh} u é \operatorname{sinh} u, e de \cos v é -\sin v.
\partial_u X(u,v) = (\operatorname{sinh} u\cos v,\;\operatorname{sinh} u\sin v,\;1),
\partial_v X(u,v) = (-\operatorname{cosh} u\sin v,\;\operatorname{cosh} u\cos v,\;0).
Agora calculamos o produto vetorial \partial_u X\times\partial_v X. Faço pelo determinante:
\partial_u X\times\partial_v X = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \operatorname{sinh} u\cos v & \operatorname{sinh} u\sin v & 1 \\\\ -\operatorname{cosh} u\sin v & \operatorname{cosh} u\cos v & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo o determinante (mostro passo a passo):
  • Componente \mathbf{i}: (\operatorname{sinh} u\sin v)\cdot 0 - 1\cdot(\operatorname{cosh} u\cos v) = -\operatorname{cosh} u\cos v.
  • Componente \mathbf{j}: -\big( (\operatorname{sinh} u\cos v)\cdot 0 - 1\cdot(-\operatorname{cosh} u\sin v)\big) = -\operatorname{cosh} u\sin v.
  • Componente \mathbf{k}: (\operatorname{sinh} u\cos v)(\operatorname{cosh} u\cos v) - (\operatorname{sinh} u\sin v)(-\operatorname{cosh} u\sin v) = \operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u(\cos^2 v+\sin^2 v)=\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u.
Portanto
\partial_u X\times\partial_v X = (-\operatorname{cosh} u\cos v,\; -\operatorname{cosh} u\sin v,\; \operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u).

Passo 3

Cálculo da norma do produto vetorial e interpretação para a área elementar.
A norma ao quadrado é
\|\partial_u X\times\partial_v X\|^2 = (\operatorname{cosh} u\cos v)^2 + (\operatorname{cosh} u\sin v)^2 + (\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u)^2.
Agrupando termos trigonométricos \cos^2 v+\sin^2 v=1,
\|\partial_u X\times\partial_v X\|^2 = \operatorname{cosh}^2 u + \operatorname{sinh}^2 u\operatorname{cosh}^2 u = \operatorname{cosh}^2 u\big(1+\operatorname{sinh}^2 u\big).
Usando a identidade hiperbólica 1+\operatorname{sinh}^2 u=\operatorname{cosh}^2 u, obtemos
\|\partial_u X\times\partial_v X\|^2 = \operatorname{cosh}^2 u\cdot\operatorname{cosh}^2 u=\operatorname{cosh}^4 u.
Como a norma é positiva,
\|\partial_u X\times\partial_v X\| = \operatorname{cosh}^2 u.
Observação didática: esse resultado significa que o elemento de área na parametrização é \mathrm{d}S=\|\partial_u X\times\partial_v X\|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v=\operatorname{cosh}^2 u\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v. Em provas, sempre verifique a norma do produto vetorial; muitas vezes simplifica com identidades trigonométricas/hiperbólicas.

Passo 4

Cálculo da área total de S usando a fórmula da área de superfície parametrizada:
\text{Área}(S)=\iint_{D}\|\partial_u X\times\partial_v X\|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v = \int_{v=0}^{2\pi}\int_{u=-1}^{1}\operatorname{cosh}^2 u\;\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.Á
Integramos primeiro em v, que apenas dá um fator 2\pi:
\text{Área}(S)=2\pi\int_{-1}^{1}\operatorname{cosh}^2 u\;\mathrm{d}u.Á
Para integrar \operatorname{cosh}^2 u usamos a identidade hiperbólica
\operatorname{cosh}(2u)=2\operatorname{cosh}^2 u-1\quad\Rightarrow\quad \operatorname{cosh}^2 u=\frac{\operatorname{cosh}(2u)+1}{2}.
Então
\int_{-1}^{1}\operatorname{cosh}^2 u\;\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\big(\operatorname{cosh}(2u)+1\big)\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\Big[\frac{1}{2}\operatorname{sinh}(2u)+u\Big]_{-1}^{1}.
Avalio os termos: \operatorname{sinh}(2u) é função ímpar, logo \operatorname{sinh}(2)-\operatorname{sinh}(-2)=2\operatorname{sinh} 2; o termo u 1-(-1)=2. Assim
\int_{-1}^{1}\operatorname{cosh}^2 u\;\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{2}\cdot 2\operatorname{sinh} 2 + 2\Big) = \frac{1}{2}\big(\operatorname{sinh} 2 + 2\big) = \frac{1}{2}\operatorname{sinh} 2 +1.
Portanto
\text{Área}(S)=2\pi\Big(\frac{1}{2}\operatorname{sinh} 2 +1\Big)=\pi\operatorname{sinh} 2 + 2\pi.Á

Passo 5

Cálculo da aplicação normal de Gauss N(u,v).
A aplicação normal unitária pode ser obtida normalizando o produto vetorial \partial_u X\times\partial_v X:
N(u,v)=\frac{\partial_u X\times\partial_v X}{\|\partial_u X\times\partial_v X\|}.
Usando o produto vetorial e sua norma encontrados,
\partial_u X\times\partial_v X = (-\operatorname{cosh} u\cos v,\; -\operatorname{cosh} u\sin v,\; \operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u),
e \|\partial_u X\times\partial_v X\|=\operatorname{cosh}^2 u. Dividindo componente a componente,
N(u,v)=\Big(-\frac{\cos v}{\operatorname{cosh} u},\; -\frac{\sin v}{\operatorname{cosh} u},\; \operatorname{tanh} u\Big).
Breve explicação: \operatorname{tanh} u=\dfrac{\operatorname{sinh} u}{\operatorname{cosh} u}. Esse vetor tem norma 1 (verificação rápida: soma dos quadrados = \frac{\cos^2 v+\sin^2 v}{\operatorname{cosh}^2 u}+\operatorname{tanh}^2 u = \frac{1}{\operatorname{cosh}^2 u}+\frac{\operatorname{sinh}^2 u}{\operatorname{cosh}^2 u}=1).

Passo 6

Equação do plano tangente a S no ponto X(0,0).
Primeiro avalio o ponto:
X(0,0)=(\operatorname{cosh} 0\cos 0,\;\operatorname{cosh} 0\sin 0,\;0)=(1,0,0).
Avalio o normal unitário em (0,0): como \operatorname{cosh} 0=1, \operatorname{sinh} 0=0, \operatorname{tanh} 0=0, \cos 0=1, \sin 0=0,
N(0,0)=\big(-1,0,0\big).
A equação do plano tangente com normal \mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3) passando por (x_0,y_0,z_0) é
n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0.
Substituindo \mathbf{n}=(-1,0,0) e (x_0,y_0,z_0)=(1,0,0),
-1\cdot(x-1)+0\cdot(y-0)+0\cdot(z-0)=0 \quad\Longrightarrow\quad x-1=0.
Portanto o plano tangente é x=1. (É intuitivo: em u=0 a superfície tem normal na direção -\vec{i}, então a tangente é o plano vertical x=1.)

Passo 7

Cálculo do fluxo do campo F(x,y,z)=z\,\vec{i}+x\,\vec{j}+y\,\vec{k} através de S.
Usamos a forma parametrizada do fluxo com orientação dada por \partial_u X\times\partial_v X:
\Phi=\iint_{S} F\cdot N\,\mathrm{d}S = \iint_{D} F\big(X(u,v)\big)\cdot\big(\partial_u X\times\partial_v X\big)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
Primeiro avaliamos F sobre a parametrização:
X(u,v)=(\operatorname{cosh} u\cos v,\;\operatorname{cosh} u\sin v,\;u),
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F\big(X(u,v)\big) = \big(u,\;\operatorname{cosh} u\cos v,\;\operatorname{cosh} u\sin v\big).
Já calculámos
\partial_u X\times\partial_v X = (-\operatorname{cosh} u\cos v,\; -\operatorname{cosh} u\sin v,\; \operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u).
O produto escalar é
F\big(X(u,v)\big)\cdot\big(\partial_u X\times\partial_v X\big) = u(-\operatorname{cosh} u\cos v) + (\operatorname{cosh} u\cos v)(-\operatorname{cosh} u\sin v) + (\operatorname{cosh} u\sin v)(\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u).
Organizo termo a termo:
= -u\operatorname{cosh} u\cos v -\operatorname{cosh}^2 u\cos v\sin v + \operatorname{sinh} u\operatorname{cosh}^2 u\sin v.
Agora integramos em v de 0 a 2\pi e em u de -1 a 1. Observe que cada termo é uma função trigonométrica periódica em v:
  • \int_{0}^{2\pi}\cos v\,\mathrm{d}v = 0.
  • \int_{0}^{2\pi}\cos v\sin v\,\mathrm{d}v = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin 2v\,\mathrm{d}v = 0.
  • \int_{0}^{2\pi}\sin v\,\mathrm{d}v = 0.
Portanto, a integral dupla sobre D de cada termo em v é zero, e assim o fluxo total é
\Phi = 0.
Explicação intuitiva: o campo F avaliado na superfície tem componentes que, quando multiplicadas pelo elemento orientado de área e integradas em v sobre um ciclo completo, cancelam-se devido à simetria periódica em v.

Resposta

Área: \pi\operatorname{sinh} 2 + 2\pi
Normal de Gauss: N(u,v)=\Big(-\dfrac{\cos v}{\operatorname{cosh} u},\; -\dfrac{\sin v}{\operatorname{cosh} u},\; \operatorname{tanh} u\Big)
Plano tangente em X(0,0): x=1
Fluxo de F através de S: 0

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