Qual o comprimento necessário de uma linha de transmissão curto-circuitada indutiva para produzir uma reatância de 200 \Omega. Considere \lambda=75 \mathrm{~cm} e \mathrm{Z} 0=80 \Omega.

Passo 1

O que o problema pede: determinar o comprimento da linha de transmissão curto-circuitada, que deve apresentar uma reatância de 200\\ \Omega (isto é, uma impedância de entrada puramente imaginária j200\\ \Omega).\n
Dados fornecidos:
\lambda = 75\\ \text{cm} = 0,75\\ \text{m},
Z_0 = 80\\ \Omega,
e a reatância desejada
X = 200\\ \Omega.

Passo 2

Fórmula usada (explicação didática): para uma linha de transmissão terminada em curto-circuito, a impedância de entrada Z_{\text{in}} é dada por
Z_{\text{in}} = j Z_0 \tan(\beta l),
onde:
  • Z_{\text{in}} é a impedância vista na entrada da linha (em ohms);
  • Z_0 é a impedância característica da linha (em ohms);
  • j é a unidade imaginária (indica que a impedância é puramente reativa);
  • \beta é a constante de fase da linha (em rad/m), definida por \beta = \dfrac{2\pi}{\lambda};
  • l é o comprimento da linha (em metros);
  • \tan(\cdot) é a função tangente trigonométrica.\n
    Comentário físico curto e importante: quando Z_{\text{in}} = jX com X>0, dizemos que a linha curta é indutiva. Para linha curto-circuitada, isso corresponde a \tan(\beta l)>0.

Passo 3

Relacionando a impedância desejada à expressão da linha curto-circuitada: impondo
Z_{\text{in}} = j200\\ \Omega,
temos
j Z_0 \tan(\beta l) = j200.
Cancelando j dos dois lados obtemos a equação real
\tan(\beta l) = \dfrac{200}{Z_0}.

Passo 4

Calcule a razão numérica:
\dfrac{200}{Z_0} = \dfrac{200}{80} = 2,5.
Logo
\tan(\beta l) = 2,5.

Passo 5

Resolver para \beta l: a função tangente é periódica com período \pi, então as soluções são
\beta l = \arctan(2,5) + n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Calcule o valor principal \arctan(2,5). Em graus:
\arctan(2,5) \approx 68,19859^\circ,
em radianos:
\arctan(2,5) \approx 1,19028995\\ \text{rad}.

Passo 6

Calcule \beta:
\beta = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{0,75\\ \mathrm{m}} \approx 8,3775804\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 7

Obtenha o comprimento l dividindo por \beta. Para a menor solução positiva (tomando n=0):
l = \dfrac{\arctan(2,5)}{\beta} \approx \dfrac{1,19028995}{8,3775804}\\ \mathrm{m} \approx 0,14211\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
l \approx 14,21\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Solução geral (periocidade física): como adição de n\pi em \beta l corresponde a adicionar \dfrac{\pi}{\beta} em l, e
\dfrac{\pi}{\beta} = \dfrac{\pi}{2\pi/\lambda} = \dfrac{\lambda}{2} = 0,375\\ \mathrm{m} = 37,5\\ \mathrm{cm},
as soluções gerais são
l = 14,21\\ \mathrm{cm} + n\cdot 37,5\\ \mathrm{cm},\qquad n\in\mathbb{Z}.
Na prática escolhemos a menor solução positiva l\approx 14,21\\ \mathrm{cm} se quisermos o menor comprimento que produz j200\\ \Omega.

Resposta

l \approx 14,21\\ \mathrm{cm}.\n
Solução geral: l = 14,21\\ \mathrm{cm} + n\cdot 37,5\\ \mathrm{cm},\; n\in\mathbb{Z}.

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