Use expressões exatas para determinar a impedância de carga que dá um coeficiente de onda estacionária de 1,5 em uma LTSP de
, quando o primeiro mínimo de tensão está a
da carga. Repita o problema usando a Carta de Smith e compare.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a impedância de carga
que produz coeficiente de onda estacionária ( ou VSWR) igual a numa linha de transmissão de , sabendo que o primeiro mínimo de tensão está a da carga. - Repetir o procedimento usando a Carta de Smith e comparar o resultado.
Informações dadas (resumidas):
-
. -
. - Distância do primeiro mínimo de tensão até a carga:
.
Observação importante (não resolvo aqui): essas informações são suficientes para encontrar a magnitude e a fase do coeficiente de reflexão na carga, e então obter
por meio da relação entre
e
.
Passo 2
Relacionando VSWR com a magnitude do coeficiente de reflexão:
A definição de VSWR (coeficiente de onda estacionária) para uma linha lossless é
onde
é a magnitude do coeficiente de reflexão na carga. Podemos inverter essa fórmula para obter
:
Agora substituímos
:
Então já temos a magnitude do coeficiente de reflexão:
.
Comentário didático curto: essa fórmula vem do fato de que VSWR é a razão entre máxima e mínima tensão na linha, que dependem de
. Para lembrar: se
(adaptado) então VSWR
; se
(reflexão total) então VSWR
.
Passo 3
Ligando a posição do primeiro mínimo de tensão com a fase do coeficiente de reflexão:
Num eixo medido a partir da carga em direção ao gerador (ou seja,
na carga,
indo para o gerador), o campo de tensão pode ser escrito (proporcionalmente) como
com
. Um mínimo de tensão ocorre quando o termo vetorial
se anula em fase, isto é, quando
Tomando argumentos (fases) dessa igualdade obtemos, para o menor
que dá um mínimo,
Isolando
e usando
:
Como no enunciado
, substituímos:
Portanto a fase do coeficiente de reflexão na carga é
Didática: essa fórmula significa que a distância do mínimo ao longo da linha diz a “fase” da reflexão que a carga provoca. Pequena variação na distância muda a fase em
rad por um comprimento de onda inteiro (fácil de verificar pela periodicidade).
Passo 4
Escrevendo o coeficiente de reflexão complexo na carga:
Já sabemos
e
. Logo
Podemos também escrever em forma retangular usando cosseno e seno:
Numericamente (para uso posterior):
então
Passo 5
Relação entre
e
e como resolver algebricamente:
A relação básica (fundamental) é
Isolando
obtemos a fórmula usada em prova:
Essa fórmula é direta de manipular em prova: ela transforma um coeficiente de reflexão complexo em uma impedância complexa.
Agora aplicamos com
e
.
Primeiro formamos o quociente normalizado
Com
onde
e
, temos
Chamando
,
,
,
(ou seja,
), o quociente complexo é
Calculamos passo a passo os termos (mostro os números usados):
-
. -
. -
. -
. -
. - Denominador
.
Produto no numerador:
Numericamente:
Dividindo pelo denominador:
Portanto o impedância normalizada é
Multiplicando por
obtemos a impedância da carga:
Didática: na prova é comum fazer essa divisão complexa multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador, exatamente como eu fiz. Também é prática memorizar a relação
para transformar gráfico/coeficiente em impedância.
Passo 6
Procedimento pelo método da Carta de Smith (passos e comparação):
Como fazer na Carta de Smith (manual) — passos práticos:
- Normalizar a impedância de interesse pela
(aqui começaríamos com desconhecido, então na carta trabalhamos com o coeficiente de reflexão). - Traçar no diagrama de reflexão o ponto correspondente ao coeficiente
com magnitude e ângulo de (ou rad). Isso é: localizar o ponto polar com raio e ângulo . - Ler na Carta o valor da impedância normalizada
correspondente a esse ponto (a carta “converte” em ). - Multiplicar por
para voltar à impedância em ohms.
Resultado esperado da Carta de Smith:
- Ao plotar
com e ângulo e ler a impedância, obtém-se aproximadamente , que ao desnormalizar dá .
Comparação:
- O resultado obtido analiticamente (cálculo exato) e o resultado lido na Carta de Smith coincidem dentro da precisão de leitura da carta. A pequena diferença que pode aparecer é apenas erro de leitura/estimação na carta; numericamente temos
.
Resposta
Carta de Smith (leitura):