Use expressões exatas para determinar a impedância de carga que dá um coeficiente de onda estacionária de 1,5 em uma LTSP de 50 \Omega, quando o primeiro mínimo de tensão está a 0,15 \lambda da carga. Repita o problema usando a Carta de Smith e compare.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a impedância de carga Z_{L} que produz coeficiente de onda estacionária ( \text{ROE} ou VSWR) igual a 1,5 numa linha de transmissão de Z_{0}=50\\ \Omega, sabendo que o primeiro mínimo de tensão está a 0,15\lambda da carga.
  • Repetir o procedimento usando a Carta de Smith e comparar o resultado.
Informações dadas (resumidas):
  • Z_{0}=50\\ \Omega.
  • \text{VSWR}=1,5.
  • Distância do primeiro mínimo de tensão até a carga: d_{\min}=0,15\lambda.
Observação importante (não resolvo aqui): essas informações são suficientes para encontrar a magnitude e a fase do coeficiente de reflexão na carga, e então obter Z_{L} por meio da relação entre Z_{L} e \Gamma_{L}.

Passo 2

Relacionando VSWR com a magnitude do coeficiente de reflexão:
A definição de VSWR (coeficiente de onda estacionária) para uma linha lossless é
\text{VSWR} = \frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|},
onde |\Gamma| é a magnitude do coeficiente de reflexão na carga. Podemos inverter essa fórmula para obter |\Gamma|:
|\Gamma| = \frac{\text{VSWR}-1}{\text{VSWR}+1}.
Agora substituímos \text{VSWR}=1,5:
|\Gamma| = \frac{1,5-1}{1,5+1} = \frac{0,5}{2,5} = 0,2.
Então já temos a magnitude do coeficiente de reflexão: |\Gamma|=0,2.
Comentário didático curto: essa fórmula vem do fato de que VSWR é a razão entre máxima e mínima tensão na linha, que dependem de |\Gamma|. Para lembrar: se |\Gamma|=0 (adaptado) então VSWR =1; se |\Gamma| \to 1 (reflexão total) então VSWR \to\infty.

Passo 3

Ligando a posição do primeiro mínimo de tensão com a fase do coeficiente de reflexão:
Num eixo medido a partir da carga em direção ao gerador (ou seja, z=0 na carga, z>0 indo para o gerador), o campo de tensão pode ser escrito (proporcionalmente) como
V(z)\propto 1+\Gamma_{L} e^{2j\beta z},
com \beta = \dfrac{2\pi}{\lambda}. Um mínimo de tensão ocorre quando o termo vetorial 1+\Gamma_{L}e^{2j\beta z} se anula em fase, isto é, quando
\Gamma_{L} e^{2j\beta z} = -1.
Tomando argumentos (fases) dessa igualdade obtemos, para o menor z>0 que dá um mínimo,
\arg(\Gamma_{L}) + 2\beta z_{\min} = \pi \quad (\text{mod }2\pi).
Isolando \arg(\Gamma_{L}) e usando \beta = 2\pi/\lambda:
\arg(\Gamma_{L}) = \pi - 2\beta z_{\min} = \pi - 4\pi\frac{z_{\min}}{\lambda}.
Como no enunciado z_{\min}=d_{\min}=0,15\lambda, substituímos:
\arg(\Gamma_{L}) = \pi - 4\pi(0,15) = \pi - 0,6\pi = 0,4\pi.
Portanto a fase do coeficiente de reflexão na carga é
\arg(\Gamma_{L}) = 0,4\pi\\ \text{rad} = 72^\circ.
Didática: essa fórmula significa que a distância do mínimo ao longo da linha diz a “fase” da reflexão que a carga provoca. Pequena variação na distância muda a fase em 4\pi rad por um comprimento de onda inteiro (fácil de verificar pela periodicidade).

Passo 4

Escrevendo o coeficiente de reflexão complexo na carga:
Já sabemos |\Gamma|=0,2 e \arg(\Gamma)=0,4\pi. Logo
\Gamma_{L} = 0,2\,e^{j0,4\pi}.
Podemos também escrever em forma retangular usando cosseno e seno:
\Gamma_{L} = 0,2\big(\cos(0,4\pi) + j\sin(0,4\pi)\big).
Numericamente (para uso posterior):
\cos(0,4\pi)=\cos(72^\circ)\approx 0,30901699,\qquad \sin(0,4\pi)=\sin(72^\circ)\approx 0,95105652,
então
\Gamma_{L}\approx 0,2(0,309017 + j\,0,951057)=0,0618034 + j\,0,1902113.

Passo 5

Relação entre \Gamma_{L} e Z_{L} e como resolver algebricamente:
A relação básica (fundamental) é
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
Isolando Z_{L} obtemos a fórmula usada em prova:
Z_{L}=Z_{0}\,\frac{1+\Gamma_{L}}{1-\Gamma_{L}}.
Essa fórmula é direta de manipular em prova: ela transforma um coeficiente de reflexão complexo em uma impedância complexa.
Agora aplicamos com Z_{0}=50\\ \Omega e \Gamma_{L}=0,2e^{j0,4\pi}.
Primeiro formamos o quociente normalizado
z_{L} \equiv \frac{Z_{L}}{Z_{0}} = \frac{1+\Gamma_{L}}{1-\Gamma_{L}}.
Com \Gamma_{L}=a+jb onde a=0,0618034 e b=0,1902113, temos
1+\Gamma_{L}=1+a+jb,\qquad 1-\Gamma_{L}=1-a-jb.
Chamando A=1+a, B=b, C=1-a, D=-b (ou seja, 1-\Gamma_{L}=C+jD), o quociente complexo é
z_{L}=\frac{A+jB}{C+jD}=\frac{(A+jB)(C-jD)}{C^{2}+D^{2}}.
Calculamos passo a passo os termos (mostro os números usados):
  • a=0,0618034,\quad b=0,1902113.
  • A=1+a=1,0618034.
  • B=b=0,1902113.
  • C=1-a=0,9381966.
  • D=-b=-0,1902113.
  • Denominador C^{2}+D^{2}\approx 0,9381966^{2}+(-0,1902113)^{2}\approx 0,9163938.
Produto no numerador:
(A+jB)(C-jD)=(AC+BD)+j(BC-AD).
Numericamente:
AC+BD \approx 1,0618034\times0,9381966 + 0,1902113\times(-0,1902113)\approx 0,9600116,
BC-AD \approx 0,1902113\times0,9381966 - 1,0618034\times(-0,1902113)\approx 0,3804169.
Dividindo pelo denominador:
\Re(z_{L}) \approx \frac{0,9600116}{0,9163938}\approx 1,0476,
\Im(z_{L}) \approx \frac{0,3804169}{0,9163938}\approx 0,4152.
Portanto o impedância normalizada é
z_{L}\approx 1,0476 + j\,0,4152.
Multiplicando por Z_{0}=50\\ \Omega obtemos a impedância da carga:
Z_{L}=Z_{0} z_{L}\approx 50\,(1,0476 + j\,0,4152)\approx 52,38 + j\,20,76\\ \Omega.
Didática: na prova é comum fazer essa divisão complexa multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador, exatamente como eu fiz. Também é prática memorizar a relação Z_{L}=Z_{0}\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma} para transformar gráfico/coeficiente em impedância.

Passo 6

Procedimento pelo método da Carta de Smith (passos e comparação):
Como fazer na Carta de Smith (manual) — passos práticos:
  1. Normalizar a impedância de interesse pela Z_{0} (aqui começaríamos com z desconhecido, então na carta trabalhamos com o coeficiente de reflexão).
  2. Traçar no diagrama de reflexão o ponto correspondente ao coeficiente \Gamma com magnitude |\Gamma|=0,2 e ângulo de 72^\circ (ou 0,4\pi rad). Isso é: localizar o ponto polar com raio 0,2 e ângulo 72^\circ.
  3. Ler na Carta o valor da impedância normalizada z_{L} correspondente a esse ponto (a carta “converte” \Gamma em z).
  4. Multiplicar por Z_{0} para voltar à impedância em ohms.
Resultado esperado da Carta de Smith:
  • Ao plotar \Gamma com |\Gamma|=0,2 e ângulo 72^\circ e ler a impedância, obtém-se aproximadamente z_{L}\approx 1,048 + j\,0,415, que ao desnormalizar dá Z_{L}\approx 52,4 + j\,20,8\\ \Omega.
Comparação:
  • O resultado obtido analiticamente (cálculo exato) e o resultado lido na Carta de Smith coincidem dentro da precisão de leitura da carta. A pequena diferença que pode aparecer é apenas erro de leitura/estimação na carta; numericamente temos Z_{L}\approx 52,38 + j\,20,76\\ \Omega.

Resposta

Z_{L}=50\,\dfrac{1+0,2e^{j0,4\pi}}{1-0,2e^{j0,4\pi}}\approx 52,38 + j\,20,76\\ \Omega
Carta de Smith (leitura): Z_{L}\approx 52,4 + j\,20,8\\ \Omega

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