(valor: 2,0 ) Considere I=\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{1-(y-1)^{2}}} y d x d y
(a) Esboce a região de integração.
(b) Faça a mudança para coordenadas polares e resolva à integral resultante.

Passo 1

O enunciado pede a integral
I=\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{\sqrt{1-(y-1)^{2}}}y\,dx\,dy
em duas partes:
(a) esboçar a região de integração em (x,y);
(b) mudar para coordenadas polares e calcular I.
O conteúdo é dupla integral em regiões planas e mudança para coordenadas polares.

Passo 2

A fronteira em x é dada por
x=\sqrt{1-(y-1)^{2}},
ou seja,
x^{2}+(y-1)^{2}=1,
que é um círculo de raio 1 centered em (0,1). Como x vai de 0 até esse valor, ficamos apenas com a metade direita desse círculo. Além disso y varia de 0 a 2, que exatamente cobre de baixo a cima desse semicírculo.
Portanto a região é o semicírculo de raio 1, centrado em (0,1), no lado x\ge0.

Passo 3

Usamos coordenadas polares padrão:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dx\,dy=r\,dr\,d\theta.
As condições viram
x\ge0\implies \cos\theta\ge0\implies \theta\in\bigl[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr],
e
x^{2}+(y-1)^{2}\le1 \implies r^{2}-2r\sin\theta\le0 \implies 0\le r\le2\sin\theta.
Como também y=r\sin\theta deve ir de 0 a 2, precisamos de \sin\theta\ge0, ou seja \theta\in[0,\pi]. Intersectando com \cos\theta\ge0 obtemos
\theta\in\bigl[0,\tfrac\pi2\bigr],\quad r\in\bigl[0,2\sin\theta\bigr].

Passo 4

Na integral original substituímos y=r\sin\theta e o jacobiano:
I=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2\sin\theta}\bigl(r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{2\sin\theta}r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos em r:
\int_{0}^{2\sin\theta}r^{2}\,dr =\frac{r^{3}}{3}\Big|_{0}^{2\sin\theta} =\frac{(2\sin\theta)^{3}}{3} =\frac{8}{3}\sin^{3}\theta.
Logo
I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{8}{3}\sin^{3}\theta\cdot\sin\theta\,d\theta =\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{4}\theta\,d\theta.
E sabemos que
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{4}\theta\,d\theta=\frac{3\pi}{16},
portanto
I=\frac{8}{3}\cdot\frac{3\pi}{16} =\frac{8\pi}{16} =\frac{\pi}{2}.

Resposta

(a) A região é o semicírculo de raio 1 centrado em (0,1) à direita do eixo y.
(b) \displaystyle I=\frac{\pi}{2}.

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