A Lua descreve um movimento circular uniforme, MCU, em sua órbita supostamente circular, de raio
em torno da Terra. Encontre a expressão para a posição, velocidade e aceleração do Movimento Harmônico Simples correspondente à projeção deste MCU ao longo do diâmetro da trajetória circular. Não o use o processo de derivação de expressões para tal determinação.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre as expressões da posição, velocidade e aceleração do Movimento Harmônico Simples (MHS) que se obtém projetando o Movimento Circular Uniforme (MCU) da Lua ao longo de um diâmetro da órbita. Informações relevantes fornecidas:
- O raio da órbita (supostamente circular) é
. - A Lua descreve MCU com velocidade angular constante (vou chamar essa velocidade angular de
). - Foi colocado no enunciado o ponto
— vou tratar isso como uma condição inicial particular que eu explicarei depois; a resolução principal será feita em forma geral com e uma fase inicial .
Nada será resolvido neste passo; apenas listei o que se pede e os dados disponíveis.
Passo 2
Vamos escrever as coordenadas do MCU de forma padrão. Seja
o ângulo polar que a posição da Lua faz com o eixo
em cada instante. Como é MCU,
cresce linearmente com o tempo:
onde
é a velocidade angular (em rad/s) e
é a fase inicial (ângulo em
). A posição da Lua na orbita, em coordenadas cartesianas, é então
Aqui eu explico cada símbolo:
-
é o raio da órbita (comprimento, mesma unidade de e ). -
é quão rápido o ângulo varia (rad/s). -
fixa a posição angular inicial. -
é o ângulo instantâneo.
Passo 3
Agora a projeção desse movimento sobre um diâmetro (escolhemos o eixo
como diâmetro) é simplesmente a componente
da posição circular. Logo, a posição do MHS resultante é
Explicação didática: a projeção de
no eixo
é apenas
. Isso já é uma função oscilatória (coseno), com amplitude
, período
e fase
. No exame, reconhecer essa forma é fundamental: projetar um MCU em qualquer diâmetro sempre dá um MHS do tipo coseno (ou seno, dependendo da escolha da fase).
Passo 4
Velocidade do MHS (componente ao longo do mesmo diâmetro)
Vou obter a componente da velocidade sem recorrer à diferenciação explícita. Raciocínio geométrico (intuição útil na prova):
Vou obter a componente da velocidade sem recorrer à diferenciação explícita. Raciocínio geométrico (intuição útil na prova):
- No MCU a velocidade vetorial tem módulo constante
e está sempre tangente à circunferência. - Para um ângulo
, a direção tangente é a rotação de do vetor posição , isto é . - Multiplicando essa direção pelo módulo
obtemos a velocidade vetorial do MCU: .
Portanto, a componente ao longo do eixo(projeção da velocidade) é
Comentário prático: essa expressão também poderia ser obtida diferenciando
, mas a dedução geométrica acima evita escrever derivadas e é rápida na prova.
Passo 5
Aceleração do MHS (componente ao longo do mesmo diâmetro)
Usando novamente a geometria do MCU:
Usando novamente a geometria do MCU:
- A aceleração no MCU é centrípeta, de módulo
, e aponta para o centro; ou seja, para o ângulo ela tem direção . - Logo a aceleração vetorial do MCU é
.
A componente ao longo deé então
Observe a forma elegante: usando a expressão de
do Passo 3, temos a relação típica do MHS
que é a equação característica do MHS. Essa relação é ótima para a prova: basta você lembrar que a projeção satisfaz
.
Passo 6
Interpretação e destaque dos máximos e sinais
- A amplitude da posição é
. - A velocidade máxima da projeção (valor absoluto máximo de
) é . - A aceleração máxima (valor absoluto) é
. - O sinal negativo em
indica que a aceleração está sempre dirigida para o ponto de equilíbrio , característica do MHS.
Passo 7
Caso particular indicado no enunciado: o ponto
O enunciado incluiu o ponto . Se isso indica que, em
, a Lua está na posição
, então temos a condição
e
. Comparando com a fórmula geral
em
, obtemos
e
. Substituindo na forma geral obtemos o caso particular
O enunciado incluiu o ponto
Resposta
Caso particular (se
for a posição em
):