A Lua descreve um movimento circular uniforme, MCU, em sua órbita supostamente circular, de raio \mathrm{X}_{\mathrm{m}} em torno da Terra. Encontre a expressão para a posição, velocidade e aceleração do Movimento Harmônico Simples correspondente à projeção deste MCU ao longo do diâmetro da trajetória circular. Não o use o processo de derivação de expressões para tal determinação. (2,0)

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre as expressões da posição, velocidade e aceleração do Movimento Harmônico Simples (MHS) que se obtém projetando o Movimento Circular Uniforme (MCU) da Lua ao longo de um diâmetro da órbita. Informações relevantes fornecidas:
  • O raio da órbita (supostamente circular) é \:X_{m}.
  • A Lua descreve MCU com velocidade angular constante (vou chamar essa velocidade angular de \omega).
  • Foi colocado no enunciado o ponto (2,0) — vou tratar isso como uma condição inicial particular que eu explicarei depois; a resolução principal será feita em forma geral com \:X_{m} e uma fase inicial \varphi.
    Nada será resolvido neste passo; apenas listei o que se pede e os dados disponíveis.

Passo 2

Vamos escrever as coordenadas do MCU de forma padrão. Seja \theta(t) o ângulo polar que a posição da Lua faz com o eixo x em cada instante. Como é MCU, \theta(t) cresce linearmente com o tempo:
\theta(t)=\omega t+\varphi,
onde \omega é a velocidade angular (em rad/s) e \varphi é a fase inicial (ângulo em t=0). A posição da Lua na orbita, em coordenadas cartesianas, é então
\bigl(X(t),Y(t)\bigr)=\bigl(X_{m}\cos(\theta(t)),\;X_{m}\sin(\theta(t))\bigr).
Aqui eu explico cada símbolo:
  • \:X_{m} é o raio da órbita (comprimento, mesma unidade de X e Y).
  • \omega é quão rápido o ângulo varia (rad/s).
  • \varphi fixa a posição angular inicial.
  • \theta(t) é o ângulo instantâneo.

Passo 3

Agora a projeção desse movimento sobre um diâmetro (escolhemos o eixo x como diâmetro) é simplesmente a componente x da posição circular. Logo, a posição do MHS resultante é
x(t)=X_{m}\cos(\omega t+\varphi).
Explicação didática: a projeção de (X_{m}\cos\theta,\;X_{m}\sin\theta) no eixo x é apenas X_{m}\cos\theta. Isso já é uma função oscilatória (coseno), com amplitude \:X_{m}, período T=\dfrac{2\pi}{\omega} e fase \varphi. No exame, reconhecer essa forma é fundamental: projetar um MCU em qualquer diâmetro sempre dá um MHS do tipo coseno (ou seno, dependendo da escolha da fase).

Passo 4

Velocidade do MHS (componente ao longo do mesmo diâmetro)
Vou obter a componente da velocidade sem recorrer à diferenciação explícita. Raciocínio geométrico (intuição útil na prova):
  • No MCU a velocidade vetorial tem módulo constante \:v=\omega X_{m} e está sempre tangente à circunferência.
  • Para um ângulo \theta, a direção tangente é a rotação de 90^\circ do vetor posição (\cos\theta,\sin\theta), isto é (-\sin\theta,\cos\theta).
  • Multiplicando essa direção pelo módulo \omega X_{m} obtemos a velocidade vetorial do MCU: \: \mathbf{v}(t)=\omega X_{m}\,(-\sin\theta,\cos\theta).
    Portanto, a componente ao longo do eixo x (projeção da velocidade) é
v_x(t)=-\omega X_{m}\sin(\omega t+\varphi).
Comentário prático: essa expressão também poderia ser obtida diferenciando x(t), mas a dedução geométrica acima evita escrever derivadas e é rápida na prova.

Passo 5

Aceleração do MHS (componente ao longo do mesmo diâmetro)
Usando novamente a geometria do MCU:
  • A aceleração no MCU é centrípeta, de módulo \:a_c=\omega^{2}X_{m}, e aponta para o centro; ou seja, para o ângulo \theta ela tem direção -(\cos\theta,\sin\theta).
  • Logo a aceleração vetorial do MCU é \:\mathbf{a}(t)=-\omega^{2}X_{m}\,(\cos\theta,\sin\theta).
    A componente ao longo de x é então
a_x(t)=-\omega^{2}X_{m}\cos(\omega t+\varphi).
Observe a forma elegante: usando a expressão de x(t) do Passo 3, temos a relação típica do MHS
a_x(t)=-\omega^{2}x(t),
que é a equação característica do MHS. Essa relação é ótima para a prova: basta você lembrar que a projeção satisfaz a=-\omega^{2}x.

Passo 6

Interpretação e destaque dos máximos e sinais
  • A amplitude da posição é \:X_{m}.
  • A velocidade máxima da projeção (valor absoluto máximo de v_x) é \omega X_{m}.
  • A aceleração máxima (valor absoluto) é \omega^{2}X_{m}.
  • O sinal negativo em a_x(t)=-\omega^{2}x(t) indica que a aceleração está sempre dirigida para o ponto de equilíbrio x=0, característica do MHS.

Passo 7

Caso particular indicado no enunciado: o ponto (2,0)
O enunciado incluiu o ponto (2,0). Se isso indica que, em t=0, a Lua está na posição (2,0), então temos a condição X(0)=2 e Y(0)=0. Comparando com a fórmula geral (X_{m}\cos\varphi,\;X_{m}\sin\varphi) em t=0, obtemos \:X_{m}=2 e \varphi=0. Substituindo na forma geral obtemos o caso particular
x(t)=2\cos(\omega t),\qquad v_x(t)=-2\omega\sin(\omega t),\qquad a_x(t)=-2\omega^{2}\cos(\omega t).

Resposta

x(t)=X_{m}\cos(\omega t+\varphi)
v_x(t)=-\omega X_{m}\sin(\omega t+\varphi)
a_x(t)=-\omega^{2}X_{m}\cos(\omega t+\varphi)
Caso particular (se (2,0) for a posição em t=0):
x(t)=2\cos(\omega t)
v_x(t)=-2\omega\sin(\omega t)
a_x(t)=-2\omega^{2}\cos(\omega t)

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