Uma luminária de quarto infantil é uma réplica do planeta Terra. As lâmpadas (LEDS) são afixadas na superficie de uma esfera metálica de raio R e massa M. O sistema é suspenso por um fio de aço vertical com módulo de elasticidade \mathrm{E}_{\mathrm{a}}. A luminária dilata o fio em \Delta \mathrm{I}. Considerando-se a tensão proporcional à deformação, encontre a dilatação do fio se o fio tivesse
o mesmo comprimento, mas se seu diâmetro fosse duas vezes maior. (1,5)

Passo 1

O enunciado dá uma luminária (esfera) de massa M suspensa por um fio vertical de aço com módulo de elasticidade E_a. O fio, com certo comprimento (que vamos chamar de L) e certo diâmetro (vamos chamar de d), estica uma quantidade \Delta I quando sustenta a lâmpada.
Pergunta: qual seria a dilatação do fio (novo \Delta I') se o fio tivesse o mesmo comprimento L e o mesmo material E_a, mas o seu diâmetro fosse duas vezes maior (ou seja, d' = 2d)?
Informações relevantes listadas:
  • massa suspensa: M (gera força peso F = Mg);
  • módulo de elasticidade do fio: E_a;
  • comprimento do fio: L (mesmo nos dois casos);
  • diâmetro original: d; diâmetro novo: d' = 2d;
  • dilatação original: \Delta I (já conhecida/medida).
    A tarefa é expressar \Delta I' em função de \Delta I (ou dos dados), sem pedir mais informações.

Passo 2

Qual é a relação entre força, área e alongamento de um fio linear elástico? Vou explicar devagarinho. Para um material elástico linear (Lei de Hooke no regime de pequenas deformações) usamos os conceitos de tensão e deformação:
  • tensão (ou esforço) é a força por unidade de área: \sigma=\dfrac{F}{A}, onde F é a força aplicada (aqui F=Mg) e A é a área da seção transversal do fio;
  • deformação (ou strain) é a variação relativa de comprimento: \varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L}, onde \Delta L é a dilatação e L o comprimento inicial.
    O módulo de Young (módulo de elasticidade) relaciona tensão e deformação pela fórmula \sigma=E_a\varepsilon. Substituindo as expressões, obtemos a fórmula prática que usamos para alongamento de um fio uniforme:
\varepsilon=\frac{\Delta L}{L}=\frac{\sigma}{E_a}=\frac{F}{A E_a}.
Isolando \Delta L fica:
\Delta L=\frac{F\,L}{A\,E_a}.
Aqui cada símbolo significa: F força (N), L comprimento inicial (m), A área da seção (m^2), E_a módulo de Young (Pa), e \Delta L alongamento (m).

Passo 3

Agora aplicamos essa fórmula ao caso original. A força que estica o fio é o peso da esfera, F = Mg. Chamando a área original de seção transversal de A_1, o alongamento original dado é:
\Delta I=\frac{F\,L}{A_1\,E_a}=\frac{Mg\,L}{A_1\,E_a}.
Isso é consistente com o que foi informado: o fio estica \Delta I sob o peso Mg.

Passo 4

Calculemos a razão entre as áreas quando duplicamos o diâmetro. A área da seção circular em termos do diâmetro d é
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Se o diâmetro novo é d'=2d, a nova área A_2 é
A_2=\frac{\pi (2d)^{2}}{4}=\frac{\pi 4d^{2}}{4}=4\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}=4A_1.
Ou seja, duplicar o diâmetro multiplica a área por \,4.

Passo 5

Usando a fórmula do Passo 2 para o fio novo (mesmo L, mesma força F=Mg, mesmo E_a, área A_2=4A_1), o novo alongamento \Delta I' vale
\Delta I'=\frac{F\,L}{A_2\,E_a}=\frac{F\,L}{4A_1\,E_a}=\frac{1}{4}\cdot\frac{F\,L}{A_1\,E_a}.
Mas \dfrac{F\,L}{A_1\,E_a} é exatamente o alongamento original \Delta I (ver Passo 3). Portanto
\Delta I'=\frac{\Delta I}{4}.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova: duplicar o diâmetro quadruplica a área da seção; como o alongamento é inversamente proporcional à área ( \Delta L\propto 1/A), o alongamento fica quatro vezes menor. Se você soubesse valores numéricos, bastaria dividir o \Delta I original por \,4. Vai dar certo — respira e lembra dessa relação direta e simples entre área e alongamento.

Resposta

\Delta I'=\dfrac{\Delta I}{4}

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