Uma luminária de quarto infantil é uma réplica do planeta Terra. As lâmpadas (LEDS) são afixadas na superficie de uma esfera metálica de raio
e massa
.
sistema é suspenso por um fio de aço vertical com módulo de elasticidade
. A luminária dilata o fio em
. Considerando-se a tensão proporcional à deformação, encontre a dilatação do fio se o fio tivesse
o mesmo comprimento, mas se seu diâmetro fosse duas vezes maior.
o mesmo comprimento, mas se seu diâmetro fosse duas vezes maior.
Passo 1
O enunciado dá uma luminária (esfera) de massa
suspensa por um fio vertical de aço com módulo de elasticidade
. O fio, com certo comprimento (que vamos chamar de
) e certo diâmetro (vamos chamar de
), estica uma quantidade
quando sustenta a lâmpada.
Pergunta: qual seria a dilatação do fio (novo ) se o fio tivesse o mesmo comprimento
e o mesmo material
, mas o seu diâmetro fosse duas vezes maior (ou seja,
)?
Informações relevantes listadas:
Pergunta: qual seria a dilatação do fio (novo
Informações relevantes listadas:
- massa suspensa:
(gera força peso ); - módulo de elasticidade do fio:
; - comprimento do fio:
(mesmo nos dois casos); - diâmetro original:
; diâmetro novo: ; - dilatação original:
(já conhecida/medida).
A tarefa é expressarem função de (ou dos dados), sem pedir mais informações.
Passo 2
Qual é a relação entre força, área e alongamento de um fio linear elástico? Vou explicar devagarinho. Para um material elástico linear (Lei de Hooke no regime de pequenas deformações) usamos os conceitos de tensão e deformação:
- tensão (ou esforço) é a força por unidade de área:
, onde é a força aplicada (aqui ) e é a área da seção transversal do fio; - deformação (ou strain) é a variação relativa de comprimento:
, onde é a dilatação e o comprimento inicial.
O módulo de Young (módulo de elasticidade) relaciona tensão e deformação pela fórmula. Substituindo as expressões, obtemos a fórmula prática que usamos para alongamento de um fio uniforme:
Isolando
fica:
Aqui cada símbolo significa:
força (N),
comprimento inicial (m),
área da seção (m^2),
módulo de Young (Pa), e
alongamento (m).
Passo 3
Agora aplicamos essa fórmula ao caso original. A força que estica o fio é o peso da esfera,
. Chamando a área original de seção transversal de
, o alongamento original dado é:
Isso é consistente com o que foi informado: o fio estica
sob o peso
.
Passo 4
Calculemos a razão entre as áreas quando duplicamos o diâmetro. A área da seção circular em termos do diâmetro
é
Se o diâmetro novo é
, a nova área
é
Ou seja, duplicar o diâmetro multiplica a área por
.
Passo 5
Usando a fórmula do Passo 2 para o fio novo (mesmo
, mesma força
, mesmo
, área
), o novo alongamento
vale
Mas
é exatamente o alongamento original
(ver Passo 3). Portanto
Passo 6
Interpretação final e dica para prova: duplicar o diâmetro quadruplica a área da seção; como o alongamento é inversamente proporcional à área (
), o alongamento fica quatro vezes menor. Se você soubesse valores numéricos, bastaria dividir o
original por
. Vai dar certo — respira e lembra dessa relação direta e simples entre área e alongamento.