Uma pessoa de massa m está no equador da superfície da Terra (raio R), girando com ela. Determine o momento angular da pessoa em termos de m e R. (1,0)

Passo 1

O enunciado diz: uma pessoa de massa m está no equador da Terra, na superfície (então à distância R do centro da Terra) e gira junto com a Terra. A pergunta é: determinar o momento angular da pessoa em termos de m e R. Informações relevantes: a massa da pessoa é m; a distância ao eixo de rotação (no equador) é R; a pessoa move-se em trajetória circular devido à rotação da Terra. Não há mais dados numéricos fornecidos (por exemplo, período de rotação), portanto queremos uma expressão simbólica.

Passo 2

Conceito chave — momento angular de uma partícula: para uma partícula de massa m com vetor posição \mathbf{r} (em relação ao ponto/ eixo onde calculamos o momento angular) e momento linear \mathbf{p}=m\mathbf{v}, o momento angular é definido por
\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}.
Aqui \times é o produto vetorial (cross product). A magnitude desse vetor é
L = r\,p\,\sin\theta,
onde r=|\mathbf{r}|, p=|\mathbf{p}|=m v e \theta é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{p}. Explico: o momento angular mede “quanto de giro” a partícula possui em torno do eixo; para um ponto material em movimento circular uniforme, é simplesmente o produto da massa, da velocidade tangencial, e do braço perpendicular ao eixo (distância perpendicular do eixo até a linha de movimento).

Passo 3

Aplicando à pessoa no equador: a posição radial da pessoa em relação ao eixo de rotação terrestre tem magnitude r=R. A velocidade linear \mathbf{v} da pessoa é tangencial à esfera e é perpendicular ao vetor radial \mathbf{r} (ou seja, o ângulo \theta entre \mathbf{r} e \mathbf{v} vale 90^\circ, e \sin\theta=1). Portanto a magnitude do momento angular é
L = r\cdot m v \cdot 1 = m r v.
Substituindo r=R obtemos
L = m R v.
Isto já é uma forma correta e simples: momento angular = massa × raio × velocidade tangencial.

Passo 4

Agora relacionamos a velocidade tangencial v com a rotação angular da Terra. Para um movimento circular com velocidade angular \omega (radianos por segundo), a velocidade linear na distância R é
v = \omega R.
Aqui \omega é a taxa de variação do ângulo (em rad/s) da Terra. Substituindo em L = m R v temos
L = m R (\omega R) = m R^2 \omega.
Essa é a expressão geral: o momento angular da pessoa (em módulo) em torno do eixo de rotação da Terra é m R^2 \omega. Expliquei: R^2 vem do produto do braço R pela velocidade que também contém outro R; \omega é a rapidez angular da Terra.

Passo 5

Se quiser escrever sem o símbolo \omega, podemos usar o período T de rotação (tempo para uma volta completa). A relação é
\omega = \frac{2\pi}{T}.
Tomando o dia sideral aproximado T=86400\\ \mathrm{s} (um dia solar médio) obtemos o valor numérico de \omega (aproximadamente 7,27\times 10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1}). Substituindo,
L = m R^2 \frac{2\pi}{T},
e, para T=86400\\ \mathrm{s},
L = m R^2 \frac{2\pi}{86400\\ \mathrm{s}}.
Isto dá o momento angular expresso em termos de m e R mais a constante de tempo conhecida da rotação da Terra.

Passo 6

Resumo e interpretação: a fórmula L=mR^2\omega mostra que o momento angular cresce com a massa, com o quadrado do raio (na superfície equatorial) e com a velocidade angular de rotação. Como verificação rápida, para uma pessoa típica m\sim 70\\ \mathrm{kg} e R\sim 6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}, usando \omega\approx7{,}27\times10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1}, o momento angular é grande numericamente principalmente por causa do R^2 — mas não precisa calcular isso para a resposta simbólica pedida.

Resposta

L = m R^2 \omega\n
L = m R^2 \dfrac{2\pi}{T} (com T período de rotação; para a Terra T\approx 86400\\ \mathrm{s}, então L = m R^2 \dfrac{2\pi}{86400\\ \mathrm{s}})

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