Uma pessoa de massa m está no equador da superfície da Terra (raio R), girando com ela. Determine o momento angular da pessoa em termos de m e R.
Passo 1
O enunciado diz: uma pessoa de massa
está no equador da Terra, na superfície (então à distância
do centro da Terra) e gira junto com a Terra. A pergunta é: determinar o momento angular da pessoa em termos de
e
. Informações relevantes: a massa da pessoa é
; a distância ao eixo de rotação (no equador) é
; a pessoa move-se em trajetória circular devido à rotação da Terra. Não há mais dados numéricos fornecidos (por exemplo, período de rotação), portanto queremos uma expressão simbólica.
Passo 2
Conceito chave — momento angular de uma partícula: para uma partícula de massa
com vetor posição
(em relação ao ponto/ eixo onde calculamos o momento angular) e momento linear
, o momento angular é definido por
Aqui
é o produto vetorial (cross product). A magnitude desse vetor é
onde
,
e
é o ângulo entre
e
. Explico: o momento angular mede “quanto de giro” a partícula possui em torno do eixo; para um ponto material em movimento circular uniforme, é simplesmente o produto da massa, da velocidade tangencial, e do braço perpendicular ao eixo (distância perpendicular do eixo até a linha de movimento).
Passo 3
Aplicando à pessoa no equador: a posição radial da pessoa em relação ao eixo de rotação terrestre tem magnitude
. A velocidade linear
da pessoa é tangencial à esfera e é perpendicular ao vetor radial
(ou seja, o ângulo
entre
e
vale
, e
). Portanto a magnitude do momento angular é
Substituindo
obtemos
Isto já é uma forma correta e simples: momento angular = massa × raio × velocidade tangencial.
Passo 4
Agora relacionamos a velocidade tangencial
com a rotação angular da Terra. Para um movimento circular com velocidade angular
(radianos por segundo), a velocidade linear na distância
é
Aqui
é a taxa de variação do ângulo (em rad/s) da Terra. Substituindo em
temos
Essa é a expressão geral: o momento angular da pessoa (em módulo) em torno do eixo de rotação da Terra é
. Expliquei:
vem do produto do braço
pela velocidade que também contém outro
;
é a rapidez angular da Terra.
Passo 5
Se quiser escrever sem o símbolo
, podemos usar o período
de rotação (tempo para uma volta completa). A relação é
Tomando o dia sideral aproximado
(um dia solar médio) obtemos o valor numérico de
(aproximadamente
). Substituindo,
e, para
,
Isto dá o momento angular expresso em termos de
e
mais a constante de tempo conhecida da rotação da Terra.
Passo 6
Resumo e interpretação: a fórmula
mostra que o momento angular cresce com a massa, com o quadrado do raio (na superfície equatorial) e com a velocidade angular de rotação. Como verificação rápida, para uma pessoa típica
e
, usando
, o momento angular é grande numericamente principalmente por causa do
— mas não precisa calcular isso para a resposta simbólica pedida.