Uma das luas de um exoplaneta recém-descoberto executa um movimento circular uniforme em torno do planeta, completando uma órbita em 18 horas. O raio orbital é de 3,6 \times 10^{7} \mathrm{~m}, e a trajetória é aproximadamente circular.
a) Determine o módulo da velocidade orbital da lua.
b) Calcule a aceleração centrípeta que atua sobre ela.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar o módulo da velocidade orbital da lua.
  2. Calcular a aceleração centrípeta que atua sobre ela.
As informações dadas pelo enunciado são:
\begin{aligned} &\text{Período orbital: } T = 18\\ \mathrm{h} \\\ &\text{Raio da órbita: } r = 3,6\times10^{7}\\ \mathrm{m} \\\ &\text{A trajetória é aproximadamente circular.} \end{aligned}íóóé

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar todas as grandezas no mesmo sistema de unidades (SI). O período está em horas; para usar fórmulas de velocidade e aceleração precisamos de segundos. Convertendo:
T = 18\\ \mathrm{h} = 18\cdot 3600\\ \mathrm{s} = 64800\\ \mathrm{s}.
Aqui eu multipliquei por 3600 porque 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Entendendo a velocidade em movimento circular uniforme: a lua percorre sempre a mesma circunferência com período T. A distância percorrida em uma volta é o comprimento da circunferência,
\text{comprimento} = 2\pi r.
A velocidade escalar (módulo da velocidade) em movimento circular uniforme é a distância percorrida por unidade de tempo, portanto
v=\frac{2\pi r}{T}.
Aqui v é o módulo da velocidade orbital (em \mathrm{m/s}), r é o raio da órbita (em \mathrm{m}) e T é o período (em \mathrm{s}).

Passo 4

Calcular numericamente v. Primeiro o numerador:
2\pi r = 2\pi\cdot 3,6\times10^{7}\\ \mathrm{m}.
Posso calcular esse produto numericamente:
2\pi\cdot 3,6\times10^{7} \approx 2,261946708\times10^{8}\\ \mathrm{m}.
Agora divido pelo período T=64800\\ \mathrm{s}:
v=\frac{2,261946708\times10^{8}}{64800}\\ \mathrm{m/s} \approx 3490{,}54\\ \mathrm{m/s}.
Mostrei as contas de forma explícita para você poder reproduzir na prova sem calculadora (faça o arredondamento final conforme o nível de precisão pedido).

Passo 5

Interpretação e forma mais direta (útil em prova): você também pode manipular a fórmula antes de calcular para ver ordens de grandeza. Por exemplo,
v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi\cdot 3{,}6\times10^{7}}{6{,}48\times10^{4}}
e simplificar potências de dez antes de multiplicar grandezas reais. Isso ajuda a evitar erros de escala.

Passo 6

Agora a aceleração centrípeta. Conceito: em movimento circular uniforme a direção da velocidade muda continuamente, e essa mudança de direção requer uma aceleração apontando para o centro da curva — a aceleração centrípeta. A fórmula para o módulo da aceleração centrípeta é
a_c=\frac{v^{2}}{r},
onde a_c é a aceleração centrípeta (em \mathrm{m/s^{2}}), v é o módulo da velocidade (em \mathrm{m/s}) e r é o raio (em \mathrm{m}). Outra forma equivalente é usar a velocidade angular \omega: a_c=\omega^{2}r com \omega=v/r; usando \omega=v/r volta-se a a_c=v^{2}/r. Achei legal explicar as duas formas para você lembrar na prova.

Passo 7

Calcular numericamente a_c usando o v que achamos. Primeiro o quadrado de v:
v^{2} \approx (3490{,}54)^{2} \approx 1{,}2183869\times10^{7}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora dividir por r=3{,}6\times10^{7}\\ \mathrm{m}:
a_c=\frac{1{,}2183869\times10^{7}}{3{,}6\times10^{7}}\\ \mathrm{m/s^{2}} \approx 0{,}33844\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Esse é o módulo da aceleração centrípeta que age sobre a lua.

Passo 8

Sobre arredondamento e resposta prática: normalmente em física de graduação três algarismos significativos é razoável aqui. Mantenha unidades no final e, se a prova pedir justificativas, diga que usei as fórmulas de movimento circular uniforme v=2\pi r/T e a_c=v^{2}/r e apresentei a conversão de horas para segundos.

Resposta

a) 3,49\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}
b) 3,38\times10^{-1}\\ \mathrm{m/s^{2}}

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