Um satélite artificial descreve uma órbita circular uniforme em torno da Terra a uma altitude de h=600 \mathrm{~km} acima da superfície. Considere o raio da Terra R_{T}=6,37 \times 10^{6} \mathrm{~m} e a constante gravitacional G=6,67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{kg}^{2} .. A massa da Terra é M_{T}=5,97 \times 10^{24} \mathrm{~kg}. Se necessário, use a Lei da Gravitação Universal: F=G \frac{\mathrm{~m} M_{T}}{r^{2}}
a) Determine o raio da órbita do satélite em relação ao centro da Terra. (Resp.: 6,97 \times 106 \mathrm{~m} )
b) Calcule a velocidade orbital da nave. (Resp.: 7,56 \times 103 \mathrm{~m} / \mathrm{s} )
c) Encontre o período de revolução do satélite (em minutos). (Resp.: 96,5 \mathrm{~min} )
d) Verifique a aceleração centrípeta e compare-a com a aceleração da gravidade na superfície terrestre \left(g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right). (Resp.: 8,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ou \left.0,84 \mathrm{~g}\right)

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre um satélite em órbita circular a uma altitude de h=600\\ \mathrm{km} acima da superfície da Terra. As informações fornecidas são:
R_{T}=6,37\times10^{6}\\ \mathrm{m}
h=600\\ \mathrm{km}=600\times10^{3}\\ \mathrm{m}
G=6,67\times10^{-11}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}}
M_{T}=5,97\times10^{24}\\ \mathrm{kg}
As perguntas são:
a) Determinar o raio da órbita em relação ao centro da Terra.
b) Calcular a velocidade orbital da nave.
c) Encontrar o período de revolução do satélite (em minutos).
d) Verificar a aceleração centrípeta e compará-la com a aceleração da gravidade na superfície g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Calcular o raio da órbita em relação ao centro da Terra significa somar o raio da Terra com a altitude do satélite. Ou seja:
r = R_{T} + h
Substituindo os valores (convertendo h para metros):
r = 6,37\times10^{6}\\ \mathrm{m} + 600\times10^{3}\\ \mathrm{m}
Agora somamos:
r = 6,37\times10^{6} + 0,60\times10^{6} = 6,97\times10^{6}\\ \mathrm{m}
Portanto o raio da órbita é \,6,97\times10^{6}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Para achar a velocidade orbital usamos o equilíbrio entre a força gravitacional (que puxa o satélite para o centro) e a força centrípeta necessária para manter o movimento circular. A Lei da Gravitação Universal dá a força gravitacional sobre a massa m do satélite:
F_{\text{grav}} = G\frac{mM_{T}}{r^{2}}
A força centrípeta necessária para velocidade v em raio r é
F_{\text{cent}} = m\frac{v^{2}}{r}
Como a gravidade fornece a centrípeta, igualamos:
G\frac{mM_{T}}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}
Cancelando m e reorganizando para v:
v^{2} = G\frac{M_{T}}{r}
v = \sqrt{G\frac{M_{T}}{r}}
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos G M_{T}:
G M_{T} = 6,67\times10^{-11}\times5,97\times10^{24}
Ao multiplicar as mantissas e somar expoentes:
G M_{T} \approx 39,8199\times10^{13} = 3,98199\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}}
Agora dividimos por r:
\frac{G M_{T}}{r} = \frac{3,98199\times10^{14}}{6,97\times10^{6}} \approx 5,715\times10^{7}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}
Tomando a raiz quadrada:
v = \sqrt{5,715\times10^{7}}\\ \mathrm{m/s} \approx 7,56\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}
Assim a velocidade orbital é aproximadamente \,7,56\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Para achar o período de revolução T usamos a relação entre comprimento da órbita e velocidade: o satélite percorre uma circunferência de comprimento 2\pi r em um período T, logo
T = \frac{2\pi r}{v}
Substituindo r=6,97\times10^{6}\\ \mathrm{m} e v=7,56\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}:
T = \frac{2\pi\times6,97\times10^{6}}{7,56\times10^{3}}\\ \mathrm{s}
Calculemos o numerador:
2\pi\times6,97\times10^{6} \approx 6,2831853\times6,97\times10^{6} \approx 4,37856\times10^{7}\\ \mathrm{m}
Agora dividimos:
T \approx \frac{4,37856\times10^{7}}{7,56\times10^{3}} \approx 5,791\times10^{3}\\ \mathrm{s}
Convertendo para minutos (dividindo por 60):
T \approx \frac{5,791\times10^{3}}{60} \approx 96,5\\ \mathrm{min}

Passo 5

A aceleração centrípeta pode ser calculada por \,a_{c}=\dfrac{v^{2}}{r}. Como já temos v^{2}=G M_{T}/r, também vale
a_{c} = \frac{v^{2}}{r} = \frac{G M_{T}}{r^{2}}
Usando G M_{T}=3,98199\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}} e r=6,97\times10^{6}\\ \mathrm{m}:
a_{c} = \frac{3,98199\times10^{14}}{(6,97\times10^{6})^{2}}
Calculando o denominador:
(6,97\times10^{6})^{2} = 6,97^{2}\times10^{12} \approx 48,5809\times10^{12} = 4,85809\times10^{13}
Agora a divisão:
a_{c} \approx \frac{3,98199\times10^{14}}{4,85809\times10^{13}} \approx 8,20\\ \mathrm{m/s^{2}}
(ou usando v^{2}/r com nossos valores v^{2}\approx5,715\times10^{7}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}} e r=6,97\times10^{6}\\ \mathrm{m} dá o mesmo resultado)
Comparando com g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\frac{a_{c}}{g} \approx \frac{8,20}{9,8} \approx 0,84\\ \mathrm{g}
Portanto a aceleração centrípeta é aproximadamente \,8,20\\ \mathrm{m/s^{2}}, que equivale a cerca de \,0,84\\ g.

Resposta

a) 6,97\times10^{6}\\ \mathrm{m}
b) 7,56\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}
c) 96,5\\ \mathrm{min}
d) 8,20\\ \mathrm{m/s^{2}} ( 0,84\\ g)

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