Um satélite artificial descreve uma órbita circular uniforme em torno da Terra a uma altitude de
acima da superfície. Considere o raio da Terra
e a constante gravitacional
. A massa da Terra é
. Se necessário, use a Lei da Gravitação Universal:
a) Determine o raio da órbita do satélite em relação ao centro da Terra. (Resp.:
)
b) Calcule a velocidade orbital da nave. (Resp.:
)
c) Encontre o período de revolução do satélite (em minutos). (Resp.:
)
d) Verifique a aceleração centrípeta e compare-a com a aceleração da gravidade na superfície terrestre
. (Resp.:
ou
a) Determine o raio da órbita do satélite em relação ao centro da Terra. (Resp.:
b) Calcule a velocidade orbital da nave. (Resp.:
c) Encontre o período de revolução do satélite (em minutos). (Resp.:
d) Verifique a aceleração centrípeta e compare-a com a aceleração da gravidade na superfície terrestre
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre um satélite em órbita circular a uma altitude de
acima da superfície da Terra. As informações fornecidas são:
As perguntas são:
a) Determinar o raio da órbita em relação ao centro da Terra.
b) Calcular a velocidade orbital da nave.
c) Encontrar o período de revolução do satélite (em minutos).
d) Verificar a aceleração centrípeta e compará-la com a aceleração da gravidade na superfície .
a) Determinar o raio da órbita em relação ao centro da Terra.
b) Calcular a velocidade orbital da nave.
c) Encontrar o período de revolução do satélite (em minutos).
d) Verificar a aceleração centrípeta e compará-la com a aceleração da gravidade na superfície
Passo 2
Calcular o raio da órbita em relação ao centro da Terra significa somar o raio da Terra com a altitude do satélite. Ou seja:
Substituindo os valores (convertendo
para metros):
Agora somamos:
Portanto o raio da órbita é
.
Passo 3
Para achar a velocidade orbital usamos o equilíbrio entre a força gravitacional (que puxa o satélite para o centro) e a força centrípeta necessária para manter o movimento circular. A Lei da Gravitação Universal dá a força gravitacional sobre a massa
do satélite:
A força centrípeta necessária para velocidade
em raio
é
Como a gravidade fornece a centrípeta, igualamos:
Cancelando
e reorganizando para
:
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos
:
Ao multiplicar as mantissas e somar expoentes:
Agora dividimos por
:
Tomando a raiz quadrada:
Assim a velocidade orbital é aproximadamente
.
Passo 4
Para achar o período de revolução
usamos a relação entre comprimento da órbita e velocidade: o satélite percorre uma circunferência de comprimento
em um período
, logo
Substituindo
e
:
Calculemos o numerador:
Agora dividimos:
Convertendo para minutos (dividindo por 60):
Passo 5
A aceleração centrípeta pode ser calculada por
. Como já temos
, também vale
Usando
e
:
Calculando o denominador:
Agora a divisão:
(ou usando
com nossos valores
e
dá o mesmo resultado)
Comparando com :
Comparando com
Portanto a aceleração centrípeta é aproximadamente
, que equivale a cerca de
.
Resposta
a)
b)
c)
d) (
)
b)
c)
d)