Um lubrificante tem viscosidade cinemática igual a 0,27 St e densidade relativa igual a 0,92. A velocidade angular do pistão é de 1,5 rad / s, constante. Determine a potência necessária para movimentar o pistāo considerando perfil linear de velocidade. LembrâRo que a potência pode ser determinada pelo produto entre o momento de força e a velocidade angular. ( 2,5 pontos)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um pistão que está sendo movimentado por um lubrificante com viscosidade cinemática de 0,27 , St e densidade relativa de 0,92. A velocidade angular do pistão é constante e igual a 1,5 , rad/s. Precisamos determinar a potência necessária para movimentar esse pistão, considerando um perfil linear de velocidade. Para isso, vamos usar a relação entre potência, momento de força (torque) e velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a viscosidade cinemática de Stokes para unidades do SI, já que 1 St = 10^-4 , m^2/s. Portanto:
nu = 0,27 , St = 0,27 times 10^-4 , m^2/s = 2,7 times 10^-5 , m^2/s

Passo 3

A densidade relativa ( rhor) é a razão entre a densidade do lubrificante e a densidade da água. Sabendo que a densidade da água é 1000 , kg/m^3, a densidade do lubrificante ( rho) é:
rho = rhor times 1000 , kg/m^3 = 0,92 times 1000 , kg/m^3 = 920 , kg/m^3

Passo 4

A potência ( P) necessária para movimentar o pistão pode ser calculada pelo produto entre o momento de força (torque, tau) e a velocidade angular ( omega):
P = tau times omega
Para encontrar o torque, precisamos relacionar a viscosidade, a geometria do pistão e a velocidade angular.

Passo 5

Considerando um perfil linear de velocidade, a força viscosa ( F) que atua no pistão é proporcional à viscosidade e ao gradiente de velocidade. A força é dada por:
F = mu times A times dudy
onde mu é a viscosidade dinâmica, A é a área de contato e dudy é o gradiente de velocidade. Porém, como temos a viscosidade cinemática ( nu) e a densidade ( rho), podemos relacionar mu com nu:
mu = nu times rho = 2,7 times 10^-5 , m^2/s times 920 , kg/m^3 = 2,484 times 10^-2 , kg/(m·s)

Passo 6

Assumindo que o pistão tem um raio r e se move com velocidade angular omega, a velocidade linear na borda do pistão é:
v = omega times r
O torque ( tau) é relacionado à força e ao raio:
tau = F times r
Substituindo F:
tau = mu times A times dudy times r
Para um perfil linear, dudy = vh, onde h é a distância entre as placas. Supondo que A = pi r^2, temos:
tau = mu times pi r^2 times vh times r = mu times pi r^3 times omega rh = mu times pi omega r^4h
Como não temos valores específicos para r e h, vamos considerar que essas variáveis se cancelam ou são dadas implicitamente.

Passo 7

Finalmente, substituindo o torque na fórmula da potência:
P = tau times omega = mu times pi omega r^4h times omega = mu times pi omega^2 r^4h
Sem os valores de r e h, não podemos calcular numéricamente, mas essa é a expressão geral para a potência necessária.

Resposta

A potência necessária para movimentar o pistão é dada por $ P = \mu \times \pi \frac{\omega^2 r^4}{h} $, onde P = mu times pi omega^2 r^4h , mu = 2,484 times 10^-2 , kg/(m·s), e omega = 1,5 , rad/s e r são as dimensões geométricas do pistão.

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