Um lubrificante tem viscosidade cinemática igual a 0,27 St e densidade relativa igual a 0,92. A velocidade angular do pistão é de
, constante. Determine a potência necessária para movimentar o pistāo considerando perfil linear de velocidade. LembrâRo que a potência pode ser determinada pelo produto entre o momento de força e a velocidade angular. ( 2,5 pontos)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um pistão que está sendo movimentado por um lubrificante com viscosidade cinemática de
e densidade relativa de
. A velocidade angular do pistão é constante e igual a
. Precisamos determinar a potência necessária para movimentar esse pistão, considerando um perfil linear de velocidade. Para isso, vamos usar a relação entre potência, momento de força (torque) e velocidade angular.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a viscosidade cinemática de Stokes para unidades do SI, já que 1 St =
. Portanto:
Passo 3
A densidade relativa (
) é a razão entre a densidade do lubrificante e a densidade da água. Sabendo que a densidade da água é
, a densidade do lubrificante (
) é:
Passo 4
A potência (
) necessária para movimentar o pistão pode ser calculada pelo produto entre o momento de força (torque,
) e a velocidade angular (
):
Para encontrar o torque, precisamos relacionar a viscosidade, a geometria do pistão e a velocidade angular.
Passo 5
Considerando um perfil linear de velocidade, a força viscosa (
) que atua no pistão é proporcional à viscosidade e ao gradiente de velocidade. A força é dada por:
onde
é a viscosidade dinâmica,
é a área de contato e
é o gradiente de velocidade. Porém, como temos a viscosidade cinemática (
) e a densidade (
), podemos relacionar
com
:
Passo 6
Assumindo que o pistão tem um raio
e se move com velocidade angular
, a velocidade linear na borda do pistão é:
O torque (
) é relacionado à força e ao raio:
Substituindo
:
Para um perfil linear,
, onde
é a distância entre as placas. Supondo que
, temos:
Como não temos valores específicos para
e
, vamos considerar que essas variáveis se cancelam ou são dadas implicitamente.
Passo 7
Finalmente, substituindo o torque na fórmula da potência:
Sem os valores de
e
, não podemos calcular numéricamente, mas essa é a expressão geral para a potência necessária.
Resposta
A potência necessária para movimentar o pistão é dada por $ P = \mu \times \pi \frac{\omega^2 r^4}{h} $, onde
,
, e
e
são as dimensões geométricas do pistão.