O aço tem densidade de
. Supondo que seja possível fazer uma casca esférica com
de espessura.
(a) Qual é o raio da menor casca esférica que boia na água?
(b) Uma casca esférica com a mesma espessura com raio de 5,0 m é presa no fundo do mar por uma corda. Qual é a tensão na corda?
© Se a corda for cortada, qual será a aceleração da casca esférica no instante imediatamente seguinte?
(a) Qual é o raio da menor casca esférica que boia na água?
(b) Uma casca esférica com a mesma espessura com raio de 5,0 m é presa no fundo do mar por uma corda. Qual é a tensão na corda?
© Se a corda for cortada, qual será a aceleração da casca esférica no instante imediatamente seguinte?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre física envolvendo densidade e flutuabilidade. O enunciado fala sobre uma casca esférica de aço com densidade de
e espessura de
. Precisamos descobrir, na parte (a), qual é o raio mínimo dessa casca que consegue flutuar na água. Para isso, vamos usar conceitos de densidade, volume e a força de empuxo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma casca esférica flutuar. Para isso, a força de empuxo (que é a força que a água exerce para empurrar a casca para cima) deve ser igual ao peso da casca. A força de empuxo é dada pelo peso da água deslocada pela casca. Então, nossa missão é relacionar o peso da casca com o peso da água que ela desloca.
Passo 3
Vamos começar calculando o volume da casca esférica. Para uma casca com espessura $ t $ e raio externo $ R $, o volume $ V_{casca} $ é a diferença entre o volume da esfera maior e o volume da esfera menor (com raio $ R - t $). A fórmula é:
Simplificando:
Como a espessura é muito menor que o raio, podemos usar essa aproximação.
Passo 4
Agora, vamos calcular a massa da casca. Sabemos que densidade $ \rho $ é massa sobre volume:
Aqui, precisamos converter a densidade para unidades compatíveis. A densidade da água é
e do aço é
.
Passo 5
A força de empuxo $ F_e $ é o peso da água deslocada, que é:
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade (
).
Passo 6
Para a casca flutuar, o peso da casca deve ser igual à força de empuxo:
Cancelando $ g $ dos dois lados:
Substituindo as expressões:
Isso simplifica para:
O que claramente não faz sentido, indicando que precisamos considerar a massa da casca comparada ao volume total deslocado pela casca inteira.
Passo 7
Na verdade, devemos relacionar a massa da casca com o volume da água que ela desloca. A massa da casca é
e o volume de água deslocado é $ \frac{4}{3} \pi R^3 $. Então, para flutuar:
Substituindo $ V_{casca} = 4 \pi R^2 t $:
Cancelando termos comuns:
Resolvendo para $ R $:
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores. Primeiro, precisamos converter as unidades para serem consistentes. A densidade da água $ \rho_{água} = 1 , g/cm^3 = 1000 , kg/m^3 $, a densidade do aço $ \rho_{aço} = 7,85 , g/cm^3 = 7850 , kg/m^3 $, e a espessura $ t = 3,0 , mm = 0,003 , m $.
Substituindo na fórmula:
Resposta
O raio da menor casca esférica que boia na água é aproximadamente
.