O aço tem densidade de 7,85 g / cm^3. Supondo que seja possível fazer uma casca esférica com 3,0 mm de espessura.
(a) Qual é o raio da menor casca esférica que boia na água?
(b) Uma casca esférica com a mesma espessura com raio de 5,0 m é presa no fundo do mar por uma corda. Qual é a tensão na corda?
© Se a corda for cortada, qual será a aceleração da casca esférica no instante imediatamente seguinte?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre física envolvendo densidade e flutuabilidade. O enunciado fala sobre uma casca esférica de aço com densidade de 7,85 , g/cm^3 e espessura de 3,0 , mm. Precisamos descobrir, na parte (a), qual é o raio mínimo dessa casca que consegue flutuar na água. Para isso, vamos usar conceitos de densidade, volume e a força de empuxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma casca esférica flutuar. Para isso, a força de empuxo (que é a força que a água exerce para empurrar a casca para cima) deve ser igual ao peso da casca. A força de empuxo é dada pelo peso da água deslocada pela casca. Então, nossa missão é relacionar o peso da casca com o peso da água que ela desloca.

Passo 3

Vamos começar calculando o volume da casca esférica. Para uma casca com espessura $ t $ e raio externo $ R $, o volume $ V_{casca} $ é a diferença entre o volume da esfera maior e o volume da esfera menor (com raio $ R - t $). A fórmula é:
t
Simplificando:
R çã
Como a espessura é muito menor que o raio, podemos usar essa aproximação.

Passo 4

Agora, vamos calcular a massa da casca. Sabemos que densidade $ \rho $ é massa sobre volume:
rho
Aqui, precisamos converter a densidade para unidades compatíveis. A densidade da água é mcasca = rho times Vcasca = rho times 4 pi R^2 t e do aço é 1 , g/cm^3.

Passo 5

A força de empuxo $ F_e $ é o peso da água deslocada, que é:
Fe á
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade ( Fe = rhoágua times Vcasca times g ).

Passo 6

Para a casca flutuar, o peso da casca deve ser igual à força de empuxo:
mcasca times g = rhoágua times Vcasca times g á
Cancelando $ g $ dos dois lados:
g á
Substituindo as expressões:
mcasca = rhoágua times Vcasca çá
Isso simplifica para:
rhoaço times 4 pi R^2 t = rhoágua times 4 pi R^2 t çá
O que claramente não faz sentido, indicando que precisamos considerar a massa da casca comparada ao volume total deslocado pela casca inteira.

Passo 7

Na verdade, devemos relacionar a massa da casca com o volume da água que ela desloca. A massa da casca é rhoaço times Vcascaç e o volume de água deslocado é $ \frac{4}{3} \pi R^3 $. Então, para flutuar:
43 pi R^3 çá
Substituindo $ V_{casca} = 4 \pi R^2 t $:
rhoaço times Vcasca = rhoágua times 43 pi R^3 çá
Cancelando termos comuns:
Vcasca = 4 pi R^2 t çá
Resolvendo para $ R $:
rhoaço times 4 pi R^2 t = rhoágua times 43 pi R^3 çá

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores. Primeiro, precisamos converter as unidades para serem consistentes. A densidade da água $ \rho_{água} = 1 , g/cm^3 = 1000 , kg/m^3 $, a densidade do aço $ \rho_{aço} = 7,85 , g/cm^3 = 7850 , kg/m^3 $, e a espessura $ t = 3,0 , mm = 0,003 , m $.
Substituindo na fórmula:
rhoágua = 1 , g/cm^3 = 1000 , kg/m^3

Resposta

O raio da menor casca esférica que boia na água é aproximadamente 0,0707 , metros.

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