O lucro de uma companhia é dado por
P=\left(500 x-x^{2}\right)-\left(\frac{x^{2}}{2}-77 x+3000\right)
Estime a variação do lucro quando a produção varia de x=115 para x=120 unidades.

Passo 1

O enunciado fornece a expressão do lucro P em função da produção x e pede uma estimativa da variação do lucro quando a produção varia de x=115 para x=120. Informações relevantes:
  • A função lucro é P=\left(500 x-x^{2}\right)-\left(\dfrac{x^{2}}{2}-77 x+3000\right).
  • Produção inicial: x_{0}=115.
  • Produção final: x_{1}=120.
  • Variação da produção: \Delta x = x_{1}-x_{0}=5.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão de P para trabalhar com uma forma mais simples. Primeiro abrimos os parênteses e agrupamos termos semelhantes:
P=(500x-x^{2})-\left(\frac{x^{2}}{2}-77x+3000\right)
P=500x-x^{2}-\frac{x^{2}}{2}+77x-3000
Agora somamos os termos em x e os termos em x^{2}:
P=(500x+77x)-\left(1+\frac{1}{2}\right)x^{2}-3000
P=577x-\frac{3}{2}x^{2}-3000

Passo 3

Explicação didática do método (sem pular passos): para estimar a variação do lucro quando x muda um pouco, usamos a aproximação linear (diferencial). A ideia é:
  • A derivada P'(x) dá a taxa instantânea de variação do lucro por unidade de produção em x.
  • Para uma pequena mudança \Delta x perto de x_{0}, a variação do lucro \Delta P pode ser aproximada por
\Delta P \approx P'(x_{0})\cdot \Delta x.
Isto é uma aplicação da aproximação por reta tangente (linearização): a reta tangente em x_{0} aproxima a curva P(x) perto de x_{0}. Essa é a técnica padrão em provas quando pedem “estime a variação”.

Passo 4

Vamos calcular a derivada P'(x). Usamos a regra do expoente (power rule): se f(x)=ax^{n} então f'(x)=anx^{n-1}. Aplicando a cada termo de P(x)=577x-\dfrac{3}{2}x^{2}-3000:
  • Derivada de 577x é 577.
  • Derivada de -\dfrac{3}{2}x^{2} é -\dfrac{3}{2}\cdot 2x = -3x.
  • Derivada de -3000 é 0.
    Portanto,
P'(x)=577-3x.

Passo 5

Avaliaremos P'(x) no ponto x_{0}=115:
P'(115)=577-3\cdot115.
Calcule passo a passo:
3\cdot115=345,
P'(115)=577-345=232.
Logo a taxa instantânea de variação do lucro em x=115 é 232 (unidades de lucro por unidade produzida).

Passo 6

Agora usamos a aproximação linear com \Delta x=5:
\Delta P \approx P'(115)\cdot\Delta x = 232\cdot 5 = 1160.
Interpretação: quando a produção aumenta de 115 para 120 unidades, estima-se que o lucro aumente em aproximadamente 1160 (unidades monetárias).

Passo 7

(Facultativo, para ver a precisão da estimativa) Calculemos a variação exata P(120)-P(115) para comparar:
P(115)=577\cdot115-\frac{3}{2}\cdot115^{2}-3000=66355-19837{,}5-3000=43517{,}5,
P(120)=577\cdot120-\frac{3}{2}\cdot120^{2}-3000=69240-21600-3000=44640,
\Delta P_{\text{exato}}=44640-43517{,}5=1122{,}5.
Comparação: a estimativa linear deu 1160, enquanto a variação exata é 1122{,}5. A aproximação superestimou em 37{,}5 porque a função é côncava (pois P''(x)=-3<0), então a reta tangente tende a ficar ligeiramente acima da curva.

Resposta

\Delta P\approx1160

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