O lucro de uma companhia é dado por
Estime a variação do lucro quando a produção varia de
para
unidades.
Passo 1
O enunciado fornece a expressão do lucro
em função da produção
e pede uma estimativa da variação do lucro quando a produção varia de
para
. Informações relevantes:
- A função lucro é
. - Produção inicial:
. - Produção final:
. - Variação da produção:
.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão de
para trabalhar com uma forma mais simples. Primeiro abrimos os parênteses e agrupamos termos semelhantes:
Agora somamos os termos em
e os termos em
:
Passo 3
Explicação didática do método (sem pular passos): para estimar a variação do lucro quando
muda um pouco, usamos a aproximação linear (diferencial). A ideia é:
- A derivada
dá a taxa instantânea de variação do lucro por unidade de produção em . - Para uma pequena mudança
perto de , a variação do lucro pode ser aproximada por
Isto é uma aplicação da aproximação por reta tangente (linearização): a reta tangente em
aproxima a curva
perto de
. Essa é a técnica padrão em provas quando pedem “estime a variação”.
Passo 4
Vamos calcular a derivada
. Usamos a regra do expoente (power rule): se
então
. Aplicando a cada termo de
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto,
Passo 5
Avaliaremos
no ponto
:
Calcule passo a passo:
Logo a taxa instantânea de variação do lucro em
é
(unidades de lucro por unidade produzida).
Passo 6
Agora usamos a aproximação linear com
:
Interpretação: quando a produção aumenta de
para
unidades, estima-se que o lucro aumente em aproximadamente
(unidades monetárias).
Passo 7
(Facultativo, para ver a precisão da estimativa) Calculemos a variação exata
para comparar:
Comparação: a estimativa linear deu
, enquanto a variação exata é
. A aproximação superestimou em
porque a função é côncava (pois
), então a reta tangente tende a ficar ligeiramente acima da curva.