Esboçar o gráfico das seguintes funções:
(n)
(n)
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações explícitas que temos:
- A função é dada por
. - Não há outras restrições ou parâmetros.
Perguntas implícitas que vamos responder ao esboçar:
- Qual é o domínio da função?
- Onde a função corta os eixos?
- Há máximos, mínimos ou pontos de inflexão?
- Como é o comportamento quando
? - Como usar essas informações para desenhar o esboço (passo a passo)?
Passo 2
Domínio e sinal da função; observação básica sobre a expressão exponencial.
- Como a função é uma exponencial com expoente
, o domínio é todos os reais:
- Uma exponencial
é sempre positiva para qualquer . Logo
Em particular, não há raízes (nenhum corte com o eixo
).
Passo 3
Reescrever o expoente completando quadrado (isso ajuda a entender simetria e máximo).
- Vamos manipular
. Faço a operação de completar quadrado:
- Portanto a função pode ser escrita como
Interpretação didática: isso mostra que a curva é uma “campânula” (forma de sino) centrada em
, multiplicada pela constante
. Em particular, a função é simétrica em relação à reta vertical
.
Passo 4
Ponto de máximo absoluto (sem usar derivada ainda, apenas pela forma completada).
- Da forma
vê-se que atinge seu maior valor quando , isto é em . - Valor máximo:
Logo
é o ponto de máximo absoluto. Isso também nos diz que a função cresce até
e depois decresce (por causa da simetria e da forma quadrática negativa no expoente).
Passo 5
Derivada primeira — monotonicidade (aula curta sobre a regra da cadeia).
- Regra que usamos: se
então . Isso é a regra da cadeia aplicada à exponencial. - Aqui
então . - Logo
- Como
sempre, o sinal de é o mesmo que o sinal de . - Portanto:
-
se , isto é para (função crescente). -
se (função decrescente). -
em , que confirma o máximo encontrado no passo anterior.
-
Passo 6
Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão (passo a passo com produto/regra da cadeia).
- Para achar concavidade, derivamos
. Usamos a regra do produto em : - Derivada de
é . - Derivada de
é (pela regra da cadeia novamente).
- Derivada de
- Assim
- Simplificando o polinômio:
Logo
- Como
, o sinal de é o sinal do polinômio quadrático . - Encontramos as raízes de
(essas serão candidatos a pontos de inflexão):
- Valores numéricos aproximados:
-
. -
.
-
- Conclusão sobre concavidade:
- Para
temos então : concavidade para cima. - Para
temos então : concavidade para baixo. - Para
temos então : concavidade para cima.
- Para
- Portanto há pontos de inflexão exatamente em
.
Passo 7
Valores úteis e simetria para construir o esboço (calcule pontos e explique utilidade).
- Simetria: já vimos que a função é simétrica em torno de
por causa da forma . - Intercepto com o eixo
: . Assim a curva passa por . - Ponto em
: . Isso confirma simetria: simétrico de em relação a . - Máximo já calculado:
com . - Valores em pontos distantes: por exemplo
e : -
. -
(novamente simetria).
-
- Valores nos pontos de inflexão: para
, usando a forma completada: - Note que
então . - Assim o expoente é
. - Logo o valor de
nesses pontos é
- Note que
Passo 8
Comportamento aos extremos (assíntotas horizontais) e resumo qualitativo.
- Comportamento quando
: o termo dominante é no expoente, então e
Isso mostra que a reta
é uma assíntota horizontal em ambas as direções.
- Resumo qualitativo para desenhar:
- Função definida para todo
e sempre positiva. - Tem máximo absoluto em
com valor . - Cresce para
e decresce para . - Concavidade: cima para
, baixo para , cima para . - Passa por
e , tende a quando .
- Função definida para todo
Passo 9
Como esboçar, passo a passo prático (para fazer na prova com lápis e régua):
- Faça dois eixos perpendiculares. Marque a linha horizontal
(assíntota) e pontos , , . - Marque o máximo em
com altura . - Marque os pontos
e . - Marque os pontos de inflexão em
e com altura . - Marque um ponto distante, por exemplo
e , para controlar a queda para a assíntota. - Desenhe a curva de forma suave: sobe a partir de
(concavidade para cima), muda para concavidade para baixo ao passar por , cresce até o máximo em , depois desce mudando concavidade em e vai para quando . - Indique a simetria em relação a
.
Dica de visualização: a curva é uma “campânula” suave, mais achatada que uma gaussiana padrão (porque é exatamente
vezes um
).
Resposta
O gráfico é uma curva positiva, simétrica em
, com máximo absoluto em
, assíntota horizontal
, pontos de inflexão em
com
, e passa por
e
.