Esboçar o gráfico das seguintes funções:
(n) y=e^{x-x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função y=e^{x-x^{2}}.
Informações explícitas que temos:
  • A função é dada por y=e^{x-x^{2}}.
  • Não há outras restrições ou parâmetros.
Perguntas implícitas que vamos responder ao esboçar:
  • Qual é o domínio da função?
  • Onde a função corta os eixos?
  • Há máximos, mínimos ou pontos de inflexão?
  • Como é o comportamento quando x\to\pm\infty?
  • Como usar essas informações para desenhar o esboço (passo a passo)?

Passo 2

Domínio e sinal da função; observação básica sobre a expressão exponencial.
  • Como a função é uma exponencial com expoente x-x^{2}, o domínio é todos os reais:
\text{Domínio} = \mathbb{R}.í
  • Uma exponencial e^{u} é sempre positiva para qualquer u\in\mathbb{R}. Logo
y>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Em particular, não há raízes (nenhum corte com o eixo x).

Passo 3

Reescrever o expoente completando quadrado (isso ajuda a entender simetria e máximo).
  • Vamos manipular x-x^{2}. Faço a operação de completar quadrado:
x-x^{2} = -\bigl(x^{2}-x\bigr) = -\left[\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{4}\right] = -\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\tfrac{1}{4}.
  • Portanto a função pode ser escrita como
y = e^{\, -\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\tfrac{1}{4}} = e^{1/4}\,e^{-\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}}.
Interpretação didática: isso mostra que a curva é uma “campânula” (forma de sino) centrada em x=\tfrac{1}{2}, multiplicada pela constante e^{1/4}. Em particular, a função é simétrica em relação à reta vertical x=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Ponto de máximo absoluto (sem usar derivada ainda, apenas pela forma completada).
  • Da forma \;y=e^{1/4}\,e^{-(x-\tfrac{1}{2})^{2}}\; vê-se que e^{-(x-\tfrac{1}{2})^{2}} atinge seu maior valor quando (x-\tfrac{1}{2})^{2}=0, isto é em x=\tfrac{1}{2}.
  • Valor máximo:
y_{\max} = e^{1/4}.
Logo \bigl(\tfrac{1}{2},\,e^{1/4}\bigr) é o ponto de máximo absoluto. Isso também nos diz que a função cresce até x=\tfrac{1}{2} e depois decresce (por causa da simetria e da forma quadrática negativa no expoente).

Passo 5

Derivada primeira — monotonicidade (aula curta sobre a regra da cadeia).
  • Regra que usamos: se y=e^{u(x)} então y'=u'(x)\,e^{u(x)}. Isso é a regra da cadeia aplicada à exponencial.
  • Aqui u(x)=x-x^{2} então u'(x)=1-2x.
  • Logo
y'=(1-2x)\,e^{x-x^{2}}.
  • Como e^{x-x^{2}}>0 sempre, o sinal de y' é o mesmo que o sinal de 1-2x.
  • Portanto:
    • y'>0 se 1-2x>0, isto é para x<\tfrac{1}{2} (função crescente).
    • y'<0 se x>\tfrac{1}{2} (função decrescente).
    • y'=0 em x=\tfrac{1}{2}, que confirma o máximo encontrado no passo anterior.

Passo 6

Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão (passo a passo com produto/regra da cadeia).
  • Para achar concavidade, derivamos y'. Usamos a regra do produto em y'=(1-2x)\,e^{x-x^{2}}:
    • Derivada de 1-2x é -2.
    • Derivada de e^{x-x^{2}} é (1-2x)\,e^{x-x^{2}} (pela regra da cadeia novamente).
  • Assim
y'' = -2\,e^{x-x^{2}} + (1-2x)^{2}\,e^{x-x^{2}} = e^{x-x^{2}}\Bigl((1-2x)^{2}-2\Bigr).
  • Simplificando o polinômio:
(1-2x)^{2}-2 = 1 -4x +4x^{2} -2 = 4x^{2}-4x-1.
Logo
y'' = e^{x-x^{2}}\bigl(4x^{2}-4x-1\bigr).
  • Como e^{x-x^{2}}>0, o sinal de y'' é o sinal do polinômio quadrático q(x)=4x^{2}-4x-1.
  • Encontramos as raízes de q(x) (essas serão candidatos a pontos de inflexão):
x = \frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot 4\cdot(-1)}}{2\cdot 4} = \frac{4\pm\sqrt{16+16}}{8} = \frac{4\pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1\pm\sqrt{2}}{2}.
  • Valores numéricos aproximados:
    • x_{1}=\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}2071.
    • x_{2}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\approx 1{,}2071.
  • Conclusão sobre concavidade:
    • Para x<x_{1} temos q(x)>0 então y''>0: concavidade para cima.
    • Para x_{1}<x<x_{2} temos q(x)<0 então y''<0: concavidade para baixo.
    • Para x>x_{2} temos q(x)>0 então y''>0: concavidade para cima.
  • Portanto há pontos de inflexão exatamente em x=\dfrac{1\pm\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Valores úteis e simetria para construir o esboço (calcule pontos e explique utilidade).
  • Simetria: já vimos que a função é simétrica em torno de x=\tfrac{1}{2} por causa da forma \;e^{1/4}e^{-(x-1/2)^{2}}.
  • Intercepto com o eixo y: y(0)=e^{0-0}=e^{0}=1. Assim a curva passa por (0,1).
  • Ponto em x=1: y(1)=e^{1-1}=e^{0}=1. Isso confirma simetria: (1,1) simétrico de (0,1) em relação a x=1/2.
  • Máximo já calculado: \bigl(\tfrac{1}{2},e^{1/4}\bigr) com e^{1/4}\approx 1{,}2840.
  • Valores em pontos distantes: por exemplo x=-1 e x=2:
    • y(-1)=e^{-1-1}=e^{-2}\approx 0{,}1353.
    • y(2)=e^{2-4}=e^{-2}\approx 0{,}1353 (novamente simetria).
  • Valores nos pontos de inflexão: para x=\dfrac{1\pm\sqrt{2}}{2}, usando a forma completada:
    • Note que x-\tfrac{1}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2} então (x-\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{1}{2}.
    • Assim o expoente é \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{4}.
    • Logo o valor de y nesses pontos é
    y\bigl(\tfrac{1\pm\sqrt{2}}{2}\bigr) = e^{-1/4}\approx 0{,}7788.

Passo 8

Comportamento aos extremos (assíntotas horizontais) e resumo qualitativo.
  • Comportamento quando x\to\pm\infty: o termo dominante é -x^{2} no expoente, então x-x^{2}\to -\infty e
\lim_{x\to\pm\infty} y = \lim_{x\to\pm\infty} e^{x-x^{2}} = 0^{+}.
Isso mostra que a reta y=0 é uma assíntota horizontal em ambas as direções.
  • Resumo qualitativo para desenhar:
    • Função definida para todo x e sempre positiva.
    • Tem máximo absoluto em x=\tfrac{1}{2} com valor e^{1/4}.
    • Cresce para x<\tfrac{1}{2} e decresce para x>\tfrac{1}{2}.
    • Concavidade: cima para x<\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}, baixo para \dfrac{1-\sqrt{2}}{2}<x<\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}, cima para x>\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}.
    • Passa por (0,1) e (1,1), tende a 0 quando x\to\pm\infty.

Passo 9

Como esboçar, passo a passo prático (para fazer na prova com lápis e régua):
  1. Faça dois eixos perpendiculares. Marque a linha horizontal y=0 (assíntota) e pontos x=0, x=\tfrac{1}{2}, x=1.
  2. Marque o máximo em x=\tfrac{1}{2} com altura y=e^{1/4}\approx 1{,}284.
  3. Marque os pontos (0,1) e (1,1).
  4. Marque os pontos de inflexão em x=\dfrac{1\pm\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}207 e 1{,}207 com altura y\approx 0{,}7788.
  5. Marque um ponto distante, por exemplo (-1, e^{-2}\approx0{,}135) e (2,e^{-2}\approx0{,}135), para controlar a queda para a assíntota.
  6. Desenhe a curva de forma suave: sobe a partir de y\approx 0 (concavidade para cima), muda para concavidade para baixo ao passar por x\approx -0{,}207, cresce até o máximo em x=\tfrac{1}{2}, depois desce mudando concavidade em x\approx 1{,}207 e vai para y\to0 quando x\to\infty.
  7. Indique a simetria em relação a x=\tfrac{1}{2}.
Dica de visualização: a curva é uma “campânula” suave, mais achatada que uma gaussiana padrão (porque é exatamente e^{1/4} vezes um e^{-(x-1/2)^{2}}).

Resposta

O gráfico é uma curva positiva, simétrica em x=\tfrac{1}{2}, com máximo absoluto em \left(\tfrac{1}{2},\,e^{1/4}\right), assíntota horizontal y=0, pontos de inflexão em x=\dfrac{1\pm\sqrt{2}}{2} com y=e^{-1/4}, e passa por (0,1) e (1,1).

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