Verifique se as funções abaixo são contínuas. Caso não sejam, justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)= x^2-1x-1, & xneq1,[6pt] 3, & x=1
O conteúdo é continuidade de função em pontos internos do domínio e em pontos de quebra. Para verificar continuidade em x=1 precisamos calcular o limite limxto1f(x) e comparar com f(1). Para xneq1 basta observar que x^2-1x-1 é uma função racional simplificável.]
Passo 2
Simplificamos o ramo para xneq1. Como
x^2-1=(x-1)(x+1),
temos
x^2-1x-1=x+1, xneq1
Logo, para xneq1, f(x)=x+1, que é contínua em todo ponto diferente de 1.
Passo 3
Calculamos o limite em x=1 usando a expressão simplificada:
limxto1f(x) =limxto1(x+1) =1+1 =2
Passo 4
O valor de f em x=1 é dado por definição como
f(1)=3
Como limxto1f(x)=2neq3=f(1), a função não é contínua em x=1.
Resposta
A função é contínua para todo xneq1 e apresenta descontinuidade em x=1, pois limxto1f(x)=2 difere de f(1)=3.