O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q)=-4q²+1.000q-12.000 reais, para q variando entre 0 e 180 unidades. Segundo tal função, qual é o valor máximo de lucro que pode ser obtido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o lucro $ L(q) = -4q² + 1000q - 12000 $ representa o lucro em reais para a produção e venda de $ q $ unidades de um produto, onde $ q $ varia de 0 a 180 unidades. Nosso objetivo aqui é encontrar qual é o lucro máximo que a empresa pode obter com essa função. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções quadráticas e como encontrar o ponto de máximo dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a função do lucro é uma função quadrática da forma $ L(q) = aq² + bq + c $, onde $ a = -4 $, $ b = 1000 $ e $ c = -12000 $. Nessa função, o coeficiente de $ q² $ é negativo ($ a = -4 $), o que indica que a parábola associada a essa função se abre para baixo. Isso significa que existe um ponto de máximo para o lucro.

Passo 3

Para encontrar o ponto de máximo dessa função quadrática, usamos a fórmula do vértice. O vértice de uma parábola $ y = aq² + bq + c $ está no ponto $ q = -\frac{b}{2a} $. Vamos aplicar essa fórmula:
y = aq² + bq + c
Então, o valor de $ q $ que maximiza o lucro é 125 unidades.

Passo 4

Agora que sabemos que o lucro máximo ocorre quando $ q = 125 $, vamos substituir esse valor na função do lucro para encontrar o valor máximo:
q = 125 ²
Vamos calcular passo a passo:
L(125) = -4(125)² + 1000(125) - 12000 ²
125² = 15625
-4 times 15625 = -62500
1000 times 125 = 125000

Resposta

O valor máximo de lucro que pode ser obtido é de R$ 50.500.

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