Lues tāo 5: A solução do problema de valor inicial
é:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
Informações relevantes fornecidas:
é a mesma coisa que
(impulso em
).
é a mesma coisa que
(função degrau deslocada).
Queremos a função para todo
, levando em conta o termo externo contínuo
e o impulso de amplitude
em
.
Queremos a função
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
Montamos a equação característica
Calculamos as raízes usando fórmula quadrática:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Procuramos uma solução particular para o termo forçante contínuo
. Tentamos uma solução particular da forma
(método dos coeficientes a determinar). Substituímos em
:
para temos
para
logo
Portanto
é uma solução particular do problema com termo
. Assim uma solução geral particular é
Passo 4
Antes do impulso (para
) a solução é a soma da homogênea com a particular:
Usamos as condições iniciais em
para determinar
e
.
Calcule :
Calcule
Como
, obtemos
Agora calculamos
. Seja
. Derivando:
A derivada de
é
. Avaliando em
:
Como
, obtemos
Substituindo
, temos
portanto
.
Passo 5
Com
e
, para
temos
Agora tratamos o termo impulso
. Como o sistema é linear e invariante no tempo (LTI), a resposta ao impulso
é a resposta ao impulso unitário
deslocada:
produz
. Assim o efeito do termo
é adicionar
, onde
é a resposta ao impulso unitário do sistema (com condições iniciais nulas).
Para achar
usamos a transformada de Laplace do operador: a transformada da resposta ao impulso é
Reconhecemos que a transformada inversa de
é
. Portanto
Logo o impulso em
com amplitude
adiciona ao
o termo
Passo 6
Somando a solução obtida para os termos contínuos (válida para todo
se ignorarmos o impulso) com a contribuição do impulso deslocado, obtemos a solução completa válida para todo
:
Escrevendo os termos separadamente:
Comparando com as alternativas, esta expressão corresponde à alternativa correta.
Resposta
e.