QUESTÃO 25
O valor de \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-1}{x^{2}} é igual a:
(A) -1 .
(B) 0 .
(C) -\infty.
(D) +\infty.
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}-1}{x^{2}}
As informações relevantes são:
\,x tende a 0 (ou seja, aproximamo-nos de 0 por ambos os lados); a expressão dada é \frac{x^{2}-1}{x^{2}}; note que a função está indefinida em x=0 porque o denominador x^{2} é 0 nesse ponto. As alternativas oferecidas são:
(A) -1.
(B) 0.
(C) -\infty.
(D) +\infty.
(E) Outro resultado.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica antes de raciocinar sobre o limite. Use a propriedade de que \frac{a-b}{c}=\frac{a}{c}-\frac{b}{c}. Aplicando isso:
\frac{x^{2}-1}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}.
Como \frac{x^{2}}{x^{2}}=1 para x\neq 0, obtemos a forma mais simples
\frac{x^{2}-1}{x^{2}}=1-\frac{1}{x^{2}}\qquad (x\neq 0).
Explicação rápida do que cada termo significa: \,x^{2} é o quadrado de x; \frac{1}{x^{2}} é o recíproco desse quadrado e fica muito grande quando x fica muito perto de 0.

Passo 3

Agora estudamos o comportamento de \frac{1}{x^{2}} quando x\to 0. Observações importantes:
  • Para todo x\neq 0 temos x^{2}>0, então \frac{1}{x^{2}}>0.
  • Quando x se aproxima de 0, o valor de x^{2} fica muito pequeno, e o recíproco \frac{1}{x^{2}} cresce sem limite. Em linguagem de limite:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty.
Um exemplo numérico para intuir: se x=0,1 então \frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{0{,}01}=100; se x=0{,}01 então \frac{1}{x^{2}}=10000. Vai ficando cada vez maior.

Passo 4

Voltando à forma simplificada 1-\frac{1}{x^{2}}: como \frac{1}{x^{2}}\to +\infty quando x\to 0, a expressão 1-\frac{1}{x^{2}} tende a 1-(+\infty), ou seja tende a -\infty. Formalizando com uma desigualdade: dado qualquer número grande R>0, existe \delta>0 tal que, para 0<|x|<\delta, temos \frac{1}{x^{2}}>R+1; então
1-\frac{1}{x^{2}}<1-(R+1)=-R,
o que mostra que a expressão fica abaixo de -R para x suficientemente próximo de 0. Isso é a definição de limite igual a -\infty.

Passo 5

Portanto o limite da expressão quando x\to 0 é -\infty. Comparando com as alternativas, isso corresponde à opção (C).

Resposta

(C) -\infty

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