QUESTÃO 25
O valor de
é igual a:
(A) -1 .
(B) 0 .
(C)
.
(D)
.
(E) Outro resultado.
O valor de
(A) -1 .
(B) 0 .
(C)
(D)
(E) Outro resultado.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
As informações relevantes são:
tende a
(ou seja, aproximamo-nos de
por ambos os lados); a expressão dada é
; note que a função está indefinida em
porque o denominador
é
nesse ponto. As alternativas oferecidas são:
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
(E) Outro resultado.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Outro resultado.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica antes de raciocinar sobre o limite. Use a propriedade de que
. Aplicando isso:
Como
para
, obtemos a forma mais simples
Explicação rápida do que cada termo significa:
é o quadrado de
;
é o recíproco desse quadrado e fica muito grande quando
fica muito perto de
.
Passo 3
Agora estudamos o comportamento de
quando
. Observações importantes:
- Para todo
temos , então . - Quando
se aproxima de , o valor de fica muito pequeno, e o recíproco cresce sem limite. Em linguagem de limite:
Um exemplo numérico para intuir: se
então
; se
então
. Vai ficando cada vez maior.
Passo 4
Voltando à forma simplificada
: como
quando
, a expressão
tende a
, ou seja tende a
. Formalizando com uma desigualdade: dado qualquer número grande
, existe
tal que, para
, temos
; então
o que mostra que a expressão fica abaixo de
para
suficientemente próximo de
. Isso é a definição de limite igual a
.
Passo 5
Portanto o limite da expressão quando
é
. Comparando com as alternativas, isso corresponde à opção (C).
Resposta
(C)