Luestāo 5: A solução do problema de valor inicial y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=e^{-t}+5 \delta_{2}(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 é:
\bigcirc a. e^{-t} \sin t+e^{-t}-e^{-t} \cos t+5 e^{t-2} u_{2}(t) \sin (t-2)
\bigcirc b. e^{-t} \sin t+e^{-t}+e^{-t} \cos t+5 e^{-(t-2)} u_{2}(t) \sin (t-2)
\bigcirc c. e^{-t} \sin t=e^{-t}-e^{-t} \cos t+5 e^{-(t-2)} u_{2}(t) \sin (t-2)
\bigcirc d. e^{-t} \sin t+e^{-t}-e^{-t} \cos t-5 e^{t-2} u_{2}(t) \sin (t-2)
\bigcirc e. e^{-t} \sin t+e^{-t}-e^{-t} \cos t+5 e^{-(t-2)} u_{2}(t) \sin (t-2)

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''+2y'+2y = e^{-t}+5\delta_{2}(t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
Informações relevantes:
  1. A equação é linear, com coeficientes constantes, forçada por duas partes: um termo suave e^{-t} e um impulso 5\delta_{2}(t) localizado em t=2.
  2. A solução será construída em duas partes: resposta ao forçamento suave e^{-t} (válida para todo t) e resposta ao impulso em t=2 (que aparece apenas para t\ge2, via a função degrau).
  3. Precisamos obedecer as condições iniciais em t=0 e a condição de salto apropriada provocada por \delta_{2}(t) em t=2. A resposta final deve ser uma função única (possivelmente com um termo multiplicado por u_{2}(t), onde u_{2}(t)=u(t-2)).

Passo 2

Vou primeiro obter a solução geral da equação homogênea associada
y''+2y'+2y=0.
Formamos a equação característica (r^2+2r+2=0). Calculando as raízes:
r = \frac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=-1\pm i.
Para raízes complexas \alpha\pm i\beta a solução homogênea é
y_h(t)=e^{\alpha t}(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)).
Aqui \alpha=-1 e \beta=1, logo a solução homogênea é
y_h(t)=e^{-t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big).

Passo 3

Agora encontro uma solução particular para o forçamento suave e^{-t}. Uso o método dos coeficientes indeterminados: tento
y_p(t)=C e^{-t}.
Calculo derivadas:
y_p'=-C e^{-t},\qquad y_p''=C e^{-t}.
Substituo na equação LHS:
y_p''+2y_p'+2y_p = C e^{-t} + 2(-C e^{-t}) + 2(C e^{-t}) = C e^{-t}(1-2+2)=C e^{-t}.
Igualando ao RHS e^{-t} obtemos C=1. Portanto
y_p(t)=e^{-t}.

Passo 4

A solução sem considerar ainda o impulso é
y_{\text{antes}}(t)=y_h(t)+y_p(t)=e^{-t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big)+e^{-t}.
Use as condições iniciais em t=0 para achar C_1,C_2.
Avalio y_{\text{antes}}(0):
y_{\text{antes}}(0)=C_1+1 \stackrel{!}{=} 0 \quad\Rightarrow\quad C_1=-1.
Agora a derivada. Primeiro, escrevo a derivada de e^{-t}(C_1\cos t + C_2\sin t):
\frac{d}{dt}\big[e^{-t}(C_1\cos t + C_2\sin t)\big] = e^{-t}\big(-C_1\cos t - C_2\sin t - C_1\sin t + C_2\cos t\big).
Somando a derivada de e^{-t} que é -e^{-t}, obtemos
y_{\text{antes}}'(t)=e^{-t}\big(-C_1\cos t - C_2\sin t - C_1\sin t + C_2\cos t -1\big).
Em t=0,
y_{\text{antes}}'(0)= -C_1 + C_2 -1 \stackrel{!}{=} 1.
Substituindo C_1=-1
-(-1)+C_2-1 = 1 \quad\Rightarrow\quad 1 + C_2 -1 =1 \quad\Rightarrow\quad C_2=1.
Portanto, para 0\le t<2 (antes do impulso) a solução é
y(t)=e^{-t}\big(-\cos t + \sin t\big)+e^{-t}.
Reagrupando:
y(t)=e^{-t}\sin t + e^{-t} - e^{-t}\cos t\qquad (0\le t<2).

Passo 5

Agora trato o impulso 5\delta_{2}(t). É prático usar a resposta ao impulso (função de Green/impulse response) do operador
L[y]=y''+2y'+2y.
A resposta ao impulso unitário h(t) satisfaz L[h]=\delta(t) com condições iniciais nulas. Em transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{h\}(s)=\frac{1}{s^2+2s+2}=\frac{1}{(s+1)^2+1}.
Conhecemos a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^2+1}\right\} = e^{-t}\sin t \cdot u(t).
Logo a resposta ao impulso é
h(t)=e^{-t}\sin t\quad\text{(para }t\ge0\text{)}.

Passo 6

Por linearidade, a resposta ao impulso deslocado 5\delta_{2}(t)=5\delta(t-2) é o impulso unitário deslocado e escalado:
5\,h(t-2)\,u(t-2)=5\,e^{-(t-2)}\sin(t-2)\,u_{2}(t),
onde u_{2}(t)=u(t-2) é o degrau iniciado em t=2. Intuição/justificação curta: a transformada de \delta(t-2) é e^{-2s} e, pela propriedade de deslocamento, a resposta é h deslocado. Alternativamente, integrar a equação através de t=2 mostra que y é contínua em t=2 e que y' tem salto
y'(2^+)-y'(2^-)=5,
o que coincide com a adição do termo 5h(t-2)u_{2}(t).

Passo 7

Somando a solução encontrada antes do impulso com a contribuição do impulso deslocado obtemos a solução para todo t:
y(t)=e^{-t}\sin t + e^{-t} - e^{-t}\cos t + 5\,e^{-(t-2)}\sin(t-2)\,u_{2}(t).
Esse é o resultado final; observe que o último termo só atua para t\ge2.

Resposta

e. e^{-t}\sin t+e^{-t}-e^{-t}\cos t+5 e^{-(t-2)} u_{2}(t)\sin(t-2)

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