Luestāo 5: A solução do problema de valor inicial
é:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Informações relevantes:
- A equação é linear, com coeficientes constantes, forçada por duas partes: um termo suave
e um impulso localizado em . - A solução será construída em duas partes: resposta ao forçamento suave
(válida para todo ) e resposta ao impulso em (que aparece apenas para , via a função degrau). - Precisamos obedecer as condições iniciais em
e a condição de salto apropriada provocada por em . A resposta final deve ser uma função única (possivelmente com um termo multiplicado por , onde ).
Passo 2
Vou primeiro obter a solução geral da equação homogênea associada
Formamos a equação característica
. Calculando as raízes:
Para raízes complexas
a solução homogênea é
Aqui
e
, logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora encontro uma solução particular para o forçamento suave
. Uso o método dos coeficientes indeterminados: tento
Calculo derivadas:
Substituo na equação LHS:
Igualando ao RHS
obtemos
. Portanto
Passo 4
A solução sem considerar ainda o impulso é
Use as condições iniciais em
para achar
.
Avalio
:
Agora a derivada. Primeiro, escrevo a derivada de
:
Somando a derivada de
que é
, obtemos
Em
,
Substituindo
dá
Portanto, para
(antes do impulso) a solução é
Reagrupando:
Passo 5
Agora trato o impulso
. É prático usar a resposta ao impulso (função de Green/impulse response) do operador
A resposta ao impulso unitário
satisfaz
com condições iniciais nulas. Em transformada de Laplace:
Conhecemos a transformada inversa:
Logo a resposta ao impulso é
Passo 6
Por linearidade, a resposta ao impulso deslocado
é o impulso unitário deslocado e escalado:
onde
é o degrau iniciado em
. Intuição/justificação curta: a transformada de
é
e, pela propriedade de deslocamento, a resposta é
deslocado. Alternativamente, integrar a equação através de
mostra que
é contínua em
e que
tem salto
o que coincide com a adição do termo
.
Passo 7
Somando a solução encontrada antes do impulso com a contribuição do impulso deslocado obtemos a solução para todo
:
Esse é o resultado final; observe que o último termo só atua para
.
Resposta
e.