Determine o centro, o raio e o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{5^{n} \sqrt{n}}. (Valor: 4,0 pontos)
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{5^{n}\sqrt{n}}
e pede três coisas: o centro da série, o raio de convergência e o intervalo de convergência (ou seja, qual é o conjunto de x reais onde a série converge). Informações relevantes dadas:
Nada mais foi fornecido — vamos trabalhar a partir disso.
Passo 2
Como identifico o centro de uma série de potências? Uma série de potências padrão tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-c)^n,
onde c é o centro. No nosso caso os termos são x^n, que é a mesma coisa que (x-0)^n. Logo o centro é o ponto em torno do qual as potências são tomadas:
\text{centro} = 0.
Explicação curta e prática: se a série aparece como potências de x sem deslocamento, o centro é 0.
Passo 3
Agora vamos ao raio de convergência R. Para séries de potências a maneira mais direta é usar o teste da raiz (ou a fórmula com \limsup):
se a série é \sum a_n (x-c)^n, então
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}.
No nosso caso podemos tomar a_n=\dfrac{1}{5^{n}\sqrt{n}} (já que o fator x^n está separado). Calculamos \sqrt[n]{|a_n|}:
Resumo do que já temos: centro 0 e raio R=5. Isso significa que a série converge absolutamente para |x-0|<5, isto é, para |x|<5. Vou justificar brevemente: aplicando o teste da raiz à série total, o n-ésimo termo em módulo é
Essa é uma série do tipo p-série com p=\tfrac{1}{2} (pois 1/\sqrt{n}=n^{-1/2}). Sabe-se que uma p-série \sum n^{-p} converge somente se p>1. Para confirmar de forma elementar, podemos usar o teste da integral:
considere \int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx = \left[2x^{1/2}\right]_{1}^{\infty} = \infty,
portanto a série diverge. Conclusão: em x=5 a série diverge.
Aplicamos o teste de Leibniz (teste da série alternada): se b_n é uma sequência positiva, decrescente e com b_n\to 0, então \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=1/\sqrt{n} é positiva, monotonicamente decrescente (porque a função f(x)=1/\sqrt{x} é decrescente para x>0) e tende a 0. Logo a série converge em x=-5. É importante notar que a convergência é condicional, pois a série dos valores absolutos \sum 1/\sqrt{n} diverge (já vimos em x=5). Assim, em x=-5 há convergência condicional (não absoluta).
Passo 8
Juntando tudo: a série converge absolutamente para |x|<5, diverge em x=5 e converge condicionalmente em x=-5. Portanto o intervalo de convergência (conjunto de x reais onde a série converge) é
[-5,\,5).
Resposta
Centro: 0
Raio: 5
Intervalo de convergência: [-5,5)