Determine o centro, o raio e o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{5^{n} \sqrt{n}}. (Valor: 4,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{5^{n}\sqrt{n}}
e pede três coisas: o centro da série, o raio de convergência e o intervalo de convergência (ou seja, qual é o conjunto de x reais onde a série converge). Informações relevantes dadas:
\text{termos gerais: }\; a_n(x) = \frac{x^{n}}{5^{n}\sqrt{n}}.
Nada mais foi fornecido — vamos trabalhar a partir disso.

Passo 2

Como identifico o centro de uma série de potências? Uma série de potências padrão tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-c)^n,
onde c é o centro. No nosso caso os termos são x^n, que é a mesma coisa que (x-0)^n. Logo o centro é o ponto em torno do qual as potências são tomadas:
\text{centro} = 0.
Explicação curta e prática: se a série aparece como potências de x sem deslocamento, o centro é 0.

Passo 3

Agora vamos ao raio de convergência R. Para séries de potências a maneira mais direta é usar o teste da raiz (ou a fórmula com \limsup):
se a série é \sum a_n (x-c)^n, então
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}.
No nosso caso podemos tomar a_n=\dfrac{1}{5^{n}\sqrt{n}} (já que o fator x^n está separado). Calculamos \sqrt[n]{|a_n|}:
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{1}{5^{n}\sqrt{n}}} = \frac{1}{5}\cdot \sqrt[n]{n^{-1/2}} = \frac{1}{5}\cdot n^{-1/(2n)}.

Passo 4

Precisamos do limite (ou \limsup) de n^{-1/(2n)} quando n\to\infty. Uma maneira limpa é usar logaritmo:
\ln\!\big(n^{-1/(2n)}\big)= -\frac{1}{2n}\ln n.
Como \ln n cresce mais devagar que n, temos -\frac{1}{2n}\ln n \to 0 quando n\to\infty. Logo
\lim_{n\to\infty} n^{-1/(2n)} = e^{0} = 1.
Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{5}\cdot 1 = \frac{1}{5}.
Aplicando a fórmula do raio:
R = \frac{1}{1/5} = 5.

Passo 5

Resumo do que já temos: centro 0 e raio R=5. Isso significa que a série converge absolutamente para |x-0|<5, isto é, para |x|<5. Vou justificar brevemente: aplicando o teste da raiz à série total, o n-ésimo termo em módulo é
\left|\frac{x^{n}}{5^{n}\sqrt{n}}\right| = \left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)^n |x|^n
e o limite raiz dá |x|/5. Se |x|/5<1 a série converge absolutamente; se |x|/5>1 diverge.

Passo 6

Falta testar os pontos extremos da barra de raio: x=5 e x=-5.
Caso x=5: substituindo na série obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^{n}}{5^{n}\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}.
Essa é uma série do tipo p-série com p=\tfrac{1}{2} (pois 1/\sqrt{n}=n^{-1/2}). Sabe-se que uma p-série \sum n^{-p} converge somente se p>1. Para confirmar de forma elementar, podemos usar o teste da integral:
considere \int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx = \left[2x^{1/2}\right]_{1}^{\infty} = \infty,
portanto a série diverge. Conclusão: em x=5 a série diverge.

Passo 7

Caso x=-5: substituindo obtemos a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-5)^{n}}{5^{n}\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}.
Aplicamos o teste de Leibniz (teste da série alternada): se b_n é uma sequência positiva, decrescente e com b_n\to 0, então \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=1/\sqrt{n} é positiva, monotonicamente decrescente (porque a função f(x)=1/\sqrt{x} é decrescente para x>0) e tende a 0. Logo a série converge em x=-5. É importante notar que a convergência é condicional, pois a série dos valores absolutos \sum 1/\sqrt{n} diverge (já vimos em x=5). Assim, em x=-5 há convergência condicional (não absoluta).

Passo 8

Juntando tudo: a série converge absolutamente para |x|<5, diverge em x=5 e converge condicionalmente em x=-5. Portanto o intervalo de convergência (conjunto de x reais onde a série converge) é
[-5,\,5).

Resposta

Centro: 0
Raio: 5
Intervalo de convergência: [-5,5)

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