Calcule a transformada inversa de Laplace
F(s)=\tan ^{-1}(1 / s)

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
F(s)=\tan^{-1}\!\bigl(\tfrac{1}{s}\bigr)
e pede a transformada inversa de Laplace f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Informações relevantes: temos F(s) explícita em termos de s e queremos encontrar uma função f(t), definida para t\ge 0, tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s).

Passo 2

Vamos calcular a derivada de F(s) em relação a s. Isso é útil porque existe uma propriedade simples da transformada de Laplace que relaciona derivada de F(s) com multiplicação por t no domínio do tempo (vou explicar essa propriedade no próximo passo). Primeiro, calculo a derivada direta:
F(s)=\tan^{-1}\!\bigl(\tfrac{1}{s}\bigr).
Faço a troca interna u=\tfrac{1}{s}. Derivando por cadeia,
\frac{d}{ds}\tan^{-1}(u)=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{ds}.
Como \tfrac{du}{ds}=-\tfrac{1}{s^{2}}, obtemos
F'(s)=\frac{d}{ds}\tan^{-1}\!\bigl(\tfrac{1}{s}\bigr) = \frac{1}{1+\tfrac{1}{s^{2}}}\cdot\left(-\tfrac{1}{s^{2}}\right).
Agora simplifico a fração: 1+\tfrac{1}{s^{2}}=\tfrac{s^{2}+1}{s^{2}}. Então
F'(s)= -\frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 3

Vou usar a propriedade da transformada de Laplace que diz, para uma função f(t) com transformada F(s),
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}F(s).
Explicando essa propriedade (aqui é importante entender o porquê para poder usar na prova): por definição
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt.
Se eu derivar F(s) em relação a s e puder trocar derivação e integral (condição técnica de troca normalmente satisfeita para funções razoáveis no contexto de Laplace), obtenho
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty} f(t)\frac{\partial}{\partial s}(e^{-st})\,dt =\int_{0}^{\infty} f(t)(-t)e^{-st}\,dt =-\mathcal{L}\{t f(t)\}(s).
Daí a propriedade desejada. É uma ferramenta muito prática para transformar derivadas em multiplicações por t e vice-versa.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: como calculei F'(s)=-\dfrac{1}{s^{2}+1}, temos
-\!F'(s)=\frac{1}{s^{2}+1} = \mathcal{L}\{t f(t)\}(s).
Mas eu também sei uma transformada de Laplace clássica: a transformada de \sin t é
\mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.
Comparando, obtemos
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s)=\mathcal{L}\{\sin t\}(s).
Pela unicidade da transformada de Laplace (duas funções com mesma transformada, sob hipóteses usuais, são iguais quase em todo lugar), concluímos que, para t>0,
t f(t)=\sin t.

Passo 5

Isolo f(t) dividindo por t. Para t>0,
f(t)=\frac{\sin t}{t}.
No ponto t=0 a expressão tem forma indeterminada, mas podemos definir o valor por continuação: como
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1,
uma escolha natural (e usual) é f(0)=1, tornando f contínua em 0. Assim a inversa de Laplace é a função \dfrac{\sin t}{t} para t>0 (com extensão contínua valendo 1 em t=0).

Passo 6

Resumo didático (para a prova): um caminho curto e seguro é notar que
\frac{d}{ds}\tan^{-1}\!\bigl(\tfrac{1}{s}\bigr)=-\frac{1}{s^{2}+1},
usar \mathcal{L}\{t f(t)\}=-F'(s) e a transformada conhecida \mathcal{L}\{\sin t\}=\tfrac{1}{s^{2}+1}. Assim t f(t)=\sin t e f(t)=\dfrac{\sin t}{t}. Dica amiga: decorar a propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\}=-F'(s) vale ouro — frequentemente economiza cálculo.

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{\sin t}{t} (para t>0, com f(0)=1 por continuidade)

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