Calcule a transformada inversa de Laplace
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
e pede a transformada inversa de Laplace
.
Informações relevantes: temos explícita em termos de
e queremos encontrar uma função
, definida para
, tal que
Informações relevantes: temos
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Isso é útil porque existe uma propriedade simples da transformada de Laplace que relaciona derivada de
com multiplicação por
no domínio do tempo (vou explicar essa propriedade no próximo passo). Primeiro, calculo a derivada direta:
Faço a troca interna
. Derivando por cadeia,
Como
, obtemos
Agora simplifico a fração:
. Então
Passo 3
Vou usar a propriedade da transformada de Laplace que diz, para uma função
com transformada
,
Explicando essa propriedade (aqui é importante entender o porquê para poder usar na prova): por definição
Se eu derivar
em relação a
e puder trocar derivação e integral (condição técnica de troca normalmente satisfeita para funções razoáveis no contexto de Laplace), obtenho
Daí a propriedade desejada. É uma ferramenta muito prática para transformar derivadas em multiplicações por
e vice-versa.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso caso: como calculei
, temos
Mas eu também sei uma transformada de Laplace clássica: a transformada de
é
Comparando, obtemos
Pela unicidade da transformada de Laplace (duas funções com mesma transformada, sob hipóteses usuais, são iguais quase em todo lugar), concluímos que, para
,
Passo 5
Isolo
dividindo por
. Para
,
No ponto
a expressão tem forma indeterminada, mas podemos definir o valor por continuação: como
uma escolha natural (e usual) é
, tornando
contínua em
. Assim a inversa de Laplace é a função
para
(com extensão contínua valendo
em
).
Passo 6
Resumo didático (para a prova): um caminho curto e seguro é notar que
usar
e a transformada conhecida
. Assim
e
. Dica amiga: decorar a propriedade
vale ouro — frequentemente economiza cálculo.