(Distância entre Planos Paralelos - Escalonamento) Encontre a distância entre os planos paralelos \pi_{1}: 4 x+2 y-4 z=10 e \pi_{2}: 2 x+y-2 z+8=0.

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede a distância entre eles. As informações fornecidas são:
\pi_{1}: 4x+2y-4z=10 e \pi_{2}: 2x+y-2z+8=0.
A pergunta é: qual é a distância mínima (perpendicular) entre os dois planos paralelos \pi_{1} e \pi_{2}?

Passo 2

Vamos identificar os vetores normais de cada plano (esses vetores indicam a direção perpendicular a cada plano). Para \pi_{1} o vetor normal é
\mathbf{n}_{1}=(4,2,-4).
Para \pi_{2} o vetor normal é
\mathbf{n}_{2}=(2,1,-2).
Observação importante: \mathbf{n}_{2}=\tfrac{1}{2}\mathbf{n}_{1}, portanto os planos são paralelos (os normais são múltiplos escalares).

Passo 3

Quando dois planos são paralelos, a distância entre eles é a mesma que a distância perpendicular de qualquer ponto de um plano até o outro plano. Uma maneira prática é:
  1. escolher um ponto P que pertence a um dos planos (por exemplo \pi_{2});\n
  2. calcular a distância de P até o outro plano ( \pi_{1}) usando a fórmula da distância ponto-plano.

Passo 4

Vou apresentar e explicar a fórmula de distância de um ponto até um plano. Seja um plano dado por
ax+by+cz+d=0
e um ponto P=(x_{0},y_{0},z_{0}). O vetor normal do plano é \mathbf{n}=(a,b,c). A distância do ponto P ao plano é o módulo da componente de \overrightarrow{PQ} na direção de \mathbf{n}, isto é:
\text{dist}(P,\text{plano})=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
Explicando por que isso vale (intuitivamente): a expressão ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d é a “distância algébrica” do ponto ao plano multiplicada pelo comprimento do vetor normal; dividindo pelo comprimento do normal \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} obtemos a distância geométrica perpendicular.

Passo 5

Escolho um ponto simples em \pi_{2}. Para \pi_{2}: 2x+y-2z+8=0 tomo y=0 e z=0. Isso dá
2x+8=0 \implies x=-4.
Portanto P=(-4,0,0) pertence a \pi_{2}.

Passo 6

Reescrevo \pi_{1} na forma padrão com termo constante de um lado: \pi_{1} é
4x+2y-4z-10=0,
ou seja, aqui a=4, b=2, c=-4 e d=-10.

Passo 7

Avalio a expressão do numerador da fórmula da distância usando P=(-4,0,0):
|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d| = |4(-4)+2\cdot 0-4\cdot 0-10| = |-16-10| = | -26 | = 26.

Passo 8

Calculo o denominador (norma do vetor normal):
\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} = \sqrt{4^{2}+2^{2}+(-4)^{2}} = \sqrt{16+4+16} = \sqrt{36} = 6.

Passo 9

Aplico a fórmula da distância ponto-plano:
\text{dist}(\pi_{1},\pi_{2})=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}.
Isso é a distância perpendicular mínima entre os dois planos.

Resposta

\dfrac{13}{3}

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