(Distância entre Retas Paralelas - Simétrica e Paramétrica) Determine a distância entre as retas r e s, sabendo que são paralelas:
r: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{-1} \quad \text { e } \quad s: X=(0,1,2)+\mu(2,3,-1)
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a distância entre as retas r e s, sabendo que são paralelas.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
r: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{-1}
s: X=(0,1,2)+\mu(2,3,-1)
Pontos e vetores visíveis nos dados:
\text{vetor diretor de }s:\; \mathbf{v}=(2,3,-1)
Da reta r podemos extrair um ponto e o vetor diretor (mesmo sentido mostrado pelo denominador). Essas são todas as informações relevantes que o exercício dá.
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicada de modo didático e intuitivo):
A distância entre duas retas paralelas em \mathbb{R}^3 é o comprimento da menor reta perpendicular comum às duas. Se tomarmos um ponto A numa reta e um ponto B na outra, o segmento \overrightarrow{AB} tem uma componente perpendicular à direção comum \mathbf{v}; essa componente perpendicular tem comprimento igual à distância procurada.
onde \times é o produto vetorial e \|\cdot\| é o comprimento (norma) do vetor.
Por que essa fórmula funciona (intuição): o módulo do produto vetorial \|\overrightarrow{AB}\times\mathbf{v}\| é a área do paralelogramo construído sobre \overrightarrow{AB} e \mathbf{v}. Essa área também pode ser escrita como \|\overrightarrow{AB}\|\,\|\mathbf{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre eles. Mas \|\overrightarrow{AB}\|\sin\theta é exatamente a componente de \overrightarrow{AB} perpendicular a \mathbf{v}, ou seja, a altura do paralelogramo — que é a distância entre as retas. Dividindo a área pelo comprimento da base \|\mathbf{v}\| obtemos essa altura.
Passo 3
Escolher pontos concretos em cada reta (passo necessário para aplicar a fórmula):
Para r escrevemos a forma paramétrica tomando um parâmetro t: