(Distância entre Retas Paralelas - Simétrica e Paramétrica) Determine a distância entre as retas r e s, sabendo que são paralelas:
r: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{-1} \quad \text { e } \quad s: X=(0,1,2)+\mu(2,3,-1)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a distância entre as retas r e s, sabendo que são paralelas.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
r: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{-1}
s: X=(0,1,2)+\mu(2,3,-1)
Pontos e vetores visíveis nos dados:
\text{vetor diretor de }s:\; \mathbf{v}=(2,3,-1)
Da reta r podemos extrair um ponto e o vetor diretor (mesmo sentido mostrado pelo denominador). Essas são todas as informações relevantes que o exercício dá.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicada de modo didático e intuitivo):
  • A distância entre duas retas paralelas em \mathbb{R}^3 é o comprimento da menor reta perpendicular comum às duas. Se tomarmos um ponto A numa reta e um ponto B na outra, o segmento \overrightarrow{AB} tem uma componente perpendicular à direção comum \mathbf{v}; essa componente perpendicular tem comprimento igual à distância procurada.
  • Uma fórmula prática e muito usada é
\text{distância}=\frac{\|\overrightarrow{AB}\times\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{v}\|},â
onde \times é o produto vetorial e \|\cdot\| é o comprimento (norma) do vetor.
  • Por que essa fórmula funciona (intuição): o módulo do produto vetorial \|\overrightarrow{AB}\times\mathbf{v}\| é a área do paralelogramo construído sobre \overrightarrow{AB} e \mathbf{v}. Essa área também pode ser escrita como \|\overrightarrow{AB}\|\,\|\mathbf{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre eles. Mas \|\overrightarrow{AB}\|\sin\theta é exatamente a componente de \overrightarrow{AB} perpendicular a \mathbf{v}, ou seja, a altura do paralelogramo — que é a distância entre as retas. Dividindo a área pelo comprimento da base \|\mathbf{v}\| obtemos essa altura.

Passo 3

Escolher pontos concretos em cada reta (passo necessário para aplicar a fórmula):
  • Para r escrevemos a forma paramétrica tomando um parâmetro t:
\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{-1}=t
Logo
x=1+2t,\quad y=-1+3t,\quad z=0-1\cdot t.
Tomando t=0 obtemos um ponto em r:
A=(1,-1,0).
  • Na reta s o enunciado já dá um ponto:
B=(0,1,2).

Passo 4

Calcular o vetor que liga A a B:
\overrightarrow{AB}=B-A=(0-1,\;1-(-1),\;2-0)=(-1,2,2).

Passo 5

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\mathbf{v}. Usando determinante:
\overrightarrow{AB}\times\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & 2 & 2 \\\\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}
Desenvolvendo por co-fatores:
\overrightarrow{AB}\times\mathbf{v}=( 2\cdot(-1)-2\cdot3,\; -(-1\cdot(-1)-2\cdot2),\; -1\cdot3-2\cdot2 ).
Calculando cada componente:
\overrightarrow{AB}\times\mathbf{v}=(-8,\;3,\;-7).

Passo 6

Calcular o módulo do produto vetorial:
\|\overrightarrow{AB}\times\mathbf{v}\|=\sqrt{(-8)^2+3^2+(-7)^2}=\sqrt{64+9+49}=\sqrt{122}.

Passo 7

Calcular o módulo do vetor diretor \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}.

Passo 8

Aplicar a fórmula da distância:
\text{distância}=\frac{\|\overrightarrow{AB}\times\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{\sqrt{122}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{122}{14}}=\sqrt{\frac{61}{7}}.â
Se quiser uma ideia numérica rápida,
\sqrt{\frac{61}{7}}\approx 2{,}95.

Resposta

\sqrt{\dfrac{61}{7}}

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