Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de três pontos não colineares?
Passo 1
O enunciado dá três pontos distintos não colineares, vou chamá‑los de A, B e C. A pergunta é: qual é o lugar geométrico (conjunto de pontos do plano) formado por todos os pontos P tais que as distâncias a esses três pontos são iguais, isto é,
PA = PB = PC?
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Há exatamente três pontos dados: A, B e C.
Eles não são colineares (não estão todos na mesma reta).
Procura‑se o conjunto de pontos P do plano com PA=PB=PC.
Passo 2
Primeiro vamos entender um caso mais simples e muito usado: o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados. Seja A e B dois pontos distintos. Considere todos os pontos P tais que
PA = PB.
Proposição: o conjunto desses pontos é a mediatriz (ou bissetriz perpendicular) do segmento \overline{AB}.
Explicação didática e prova curta:
Se P satisfaz PA=PB, então o triângulo \triangle PAB é isósceles com base \overline{AB}. Em um triângulo isósceles, a mediatriz da base passa pelo vértice oposto e é perpendicular à base; portanto P fica sobre a mediatriz de \overline{AB}.
Reversamente, qualquer ponto P sobre a mediatriz de \overline{AB} está à mesma distância de A e de B, porque a mediatriz consiste exatamente dos pontos que têm distâncias iguais a A e B.
Assim, algebraicamente e geometricamente, o lugar dos pontos com PA=PB é a mediatriz de \overline{AB}. Vou usar essa propriedade para o caso com três pontos.
Passo 3
Agora volte ao problema com A, B e C. Se um ponto P satisfaz
PA = PB = PC,
então, em particular, tem PA = PB e PA = PC. Pelas conclusões do passo anterior:
P pertence à mediatriz de \overline{AB}.
P pertence à mediatriz de \overline{AC}.
Logo P pertence à interseção das mediatrizes de \overline{AB} e \overline{AC}. Portanto o lugar procurado está contido nessa interseção.
Passo 4
Agora vou mostrar que essa interseção contém exatamente um ponto (ou seja, é um ponto único) quando A, B e C não são colineares, e que esse ponto efetivamente satisfaz PA=PB=PC.
As mediatrizes de \overline{AB} e de \overline{AC} são retas distintas (cada uma é perpendicular ao respectivo segmento e passa pelo seu ponto médio). Porque B e C não coincidem e os segmentos \overline{AB} e \overline{AC} não estão sobre a mesma reta (já que A,B,C não são colineares), as duas mediatrizes não podem ser paralelas — duas retas não paralelas no plano se cruzam em exatamente um ponto. Portanto existe exatamente um ponto O que é a interseção dessas duas mediatrizes.
Como O está sobre a mediatriz de \overline{AB}, vale OA=OB. Como O está sobre a mediatriz de \overline{AC}, vale OA=OC. Combinando, OA=OB=OC. Logo O é equidistante de A, B e C.
Portanto a interseção das duas mediatrizes é exatamente o conjunto dos pontos equidistantes dos três pontos — e essa interseção é um único ponto O.
Passo 5
Interpretação geométrica e nomes:
O ponto O é o centro da circunferência que passa por A, B e C. Essa circunferência existe e é única porque três pontos não colineares determinam uma única circunferência.
Esse ponto O chama‑se circuncentro do triângulo \triangle ABC.
Observação útil para prova e para a prova oral: dependendo do tipo de triângulo, o circuncentro pode ficar dentro (\triangle ABC acutângulo), exatamente no ponto médio da hipotenusa (\triangle ABC retângulo), ou fora do triângulo (\triangle ABC obtusângulo). Em todos os casos, continua sendo a interseção das mediatrizes.
Passo 6
Nota sobre a hipótese “não colineares”: se A, B e C fossem colineares e distintos, não existe ponto P com PA=PB=PC, porque uma circunferência corta uma reta em no máximo dois pontos — portanto não há circunferência passando por três pontos colineares distintos. Por isso a hipótese de não colinearidade é essencial para a existência de um ponto.
Resposta
O lugar geométrico é o ponto único que é a interseção das mediatrizes dos segmentos \overline{AB}, \overline{BC} e \overline{AC} — o circuncentro do triângulo formado por A, B e C.