Uma bola de massa
é lançada sobre um plano inclinado, de inclinação
com o solo, da sua base; o atrito cinético entre a bola e o plano é
. Quando a bola atinge uma altura
, sem necessariamente parar, o tempo do movimento é
.
a) Determine a velocidade com a qual a bola foi lançada.
b) Em um segundo lançamento a bola atinge a altura máxima do plano inclinado e volta até a base. Sabendo que o tempo da descida da bola é
, determine a velocidade inicial da bola neste segundo lançamento.
a) Determine a velocidade com a qual a bola foi lançada.
b) Em um segundo lançamento a bola atinge a altura máxima do plano inclinado e volta até a base. Sabendo que o tempo da descida da bola é
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Massa da bola:
(não será necessária no resultado porque aparece em todos os termos de força e se cancela). - Plano inclinado com ângulo
em relação ao solo. - Coeficiente de atrito cinético:
. - Primeira situação: a bola é lançada da base do plano e ao atingir altura
(medida vertical) o tempo decorrido do movimento é . O enunciado avisa que a bola pode não ter parado nesse instante. - Segunda situação: em outro lançamento a bola sobe até a altura máxima (para de subir) e volta até a base; o tempo da descida (do repouso no topo até a base) é
.
- Massa da bola:
-
O que se pede:
(a) Determinar a velocidade inicial da bola no primeiro lançamento, em função de, , , e .
(b) Determinar a velocidade inicial no segundo lançamento (o que alcança o topo e volta), em função de, , e .
Passo 2
Forças e aceleração ao longo do plano (conceito e sinais).
-
Explicação física curta e intuitiva: ao deslizar para cima ao longo do plano as duas forças que retardam a bola ao longo do plano são: a componente da gravidade que puxa para baixo ao longo do plano e a força de atrito cinético (que sempre atua contra o movimento). Para escrever a equação do movimento usamos a Segunda Lei de Newton: força resultante ao longo do plano = massa
aceleração ao longo do plano. -
Cálculo das componentes:
- Componente da gravidade ao longo do plano (no sentido para baixo):
. - Força normal:
. - Força de atrito cinético (módulo):
. Quando a bola vai para cima, o atrito atua para baixo ao longo do plano (mesmo sentido da componente da gravidade).
- Componente da gravidade ao longo do plano (no sentido para baixo):
-
Logo, se tomarmos a direção positiva para cima ao longo do plano, a aceleração durante a subida é uma aceleração constante negativa (retardação) dada por:
Cancelando
obtemos
Passo 3
Relação entre deslocamento ao longo do plano e a altura vertical
.
- Se a bola avançou uma distância
ao longo do plano, a subida vertical correspondente é . Portanto a distância ao longo do plano que corresponde a é
Passo 4
Equação do movimento e isolando a velocidade inicial para o item (a).
- Usamos a equação do movimento uniformemente acelerado ao longo do plano (com aceleração constante
):
onde
é a velocidade inicial (ao longo do plano) que queremos achar e
é o deslocamento ao longo do plano em
.
- Substituindo
e na equação:
- Isolando
:
- Comentário didático: a primeira parcela
é a velocidade média necessária para percorrer a distância correspondente a no tempo se não houvesse aceleração; a segunda parcela corrige essa média pelo efeito da desaceleração devido à gravidade e ao atrito (note que aparece com sinal positivo porque a aceleração é negativa, então vira ).
Passo 5
Resumo e observações sobre o resultado do item (a).
- Fórmula final obtida para o item (a):
- Observação prática: se
(sem atrito) a expressão reduz-se à forma esperada com apenas a componente da gravidade . A massa não aparece porque se cancela nas equações (forças proporcionais a ).
Passo 6
Preparação para o item (b): dinâmica do movimento até o ponto mais alto e da descida.
- No segundo lançamento a bola sobe até um ponto onde sua velocidade é zero (topo) e então desce até a base. Denotar a velocidade inicial desse lançamento por
. - Durante a subida a desaceleração ao longo do plano é a mesma do Passo 2:
- No começo da descida (a partir do repouso no topo) a aceleração ao longo do plano tem agora sentido para baixo; a componente da gravidade puxa para baixo e o atrito, que sempre se opõe ao movimento, agora atua para cima. Portanto a aceleração durante a descida (tomando sentido para baixo como positivo agora) tem módulo
- Observação importante: para que a bola desça, precisa ser
, ou seja
Se isso não ocorrer, a bola não desceria sozinha na presença desse atrito (caso degenerado que o enunciado não sugere).
Passo 7
Relacione a distância máxima alcançada com
e com o tempo de descida
, e elimine a distância.
-
Distância ao longo do plano até o topo (a partir da base) pode ser escrita de duas formas:
- Pela subida (cinemática): usando
entre início e topo (onde ):
(Aqui note que, por isso o sinal fica positivo no denominador.)
2. Pela descida: partindo do repouso no topo e percorrendocom aceleração durante tempo : - Pela subida (cinemática): usando
-
Igualando as duas expressões para
(eliminação da distância máxima):
Passo 8
Isolando
e simplificando para o item (b).
- Multiplicando ambos os lados e resolvendo:
- Reconhecendo o produto como diferença de quadrados:
- Tomando raiz quadrada (velocidade inicial positiva):
- Relembrando a condição necessária para que a raiz seja real e a descida ocorra: