Uma bola de massa m é lançada sobre um plano inclinado, de inclinação \theta com o solo, da sua base; o atrito cinético entre a bola e o plano é \mu_{c}. Quando a bola atinge uma altura h, sem necessariamente parar, o tempo do movimento é \Delta t.
a) Determine a velocidade com a qual a bola foi lançada.
b) Em um segundo lançamento a bola atinge a altura máxima do plano inclinado e volta até a base. Sabendo que o tempo da descida da bola é t_{d}, determine a velocidade inicial da bola neste segundo lançamento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa da bola: m (não será necessária no resultado porque aparece em todos os termos de força e se cancela).
    • Plano inclinado com ângulo \theta em relação ao solo.
    • Coeficiente de atrito cinético: \mu_{c}.
    • Primeira situação: a bola é lançada da base do plano e ao atingir altura h (medida vertical) o tempo decorrido do movimento é \Delta t. O enunciado avisa que a bola pode não ter parado nesse instante.
    • Segunda situação: em outro lançamento a bola sobe até a altura máxima (para de subir) e volta até a base; o tempo da descida (do repouso no topo até a base) é t_{d}.
  • O que se pede:
    (a) Determinar a velocidade inicial da bola no primeiro lançamento, em função de \Delta t, h, \theta, \mu_{c} e g.
    (b) Determinar a velocidade inicial no segundo lançamento (o que alcança o topo e volta), em função de t_{d}, \theta, \mu_{c} e g.

Passo 2

Forças e aceleração ao longo do plano (conceito e sinais).
  • Explicação física curta e intuitiva: ao deslizar para cima ao longo do plano as duas forças que retardam a bola ao longo do plano são: a componente da gravidade que puxa para baixo ao longo do plano e a força de atrito cinético (que sempre atua contra o movimento). Para escrever a equação do movimento usamos a Segunda Lei de Newton: força resultante ao longo do plano = massa \times aceleração ao longo do plano.
  • Cálculo das componentes:
    • Componente da gravidade ao longo do plano (no sentido para baixo): m g \sin\theta.
    • Força normal: N = m g \cos\theta.
    • Força de atrito cinético (módulo): F_{\text{atrito}}=\mu_{c} N = \mu_{c} m g \cos\theta. Quando a bola vai para cima, o atrito atua para baixo ao longo do plano (mesmo sentido da componente da gravidade).
  • Logo, se tomarmos a direção positiva para cima ao longo do plano, a aceleração durante a subida é uma aceleração constante negativa (retardação) dada por:
\text{Força resultante} = -m g\sin\theta - \mu_{c} m g\cos\theta = m a_{\text{subida}}.ç
Cancelando m obtemos
a_{\text{subida}} = -g\bigl(\sin\theta + \mu_{c}\cos\theta\bigr).

Passo 3

Relação entre deslocamento ao longo do plano e a altura vertical h.
  • Se a bola avançou uma distância s ao longo do plano, a subida vertical correspondente é h = s\sin\theta. Portanto a distância ao longo do plano que corresponde a h é
s=\frac{h}{\sin\theta}.

Passo 4

Equação do movimento e isolando a velocidade inicial para o item (a).
  • Usamos a equação do movimento uniformemente acelerado ao longo do plano (com aceleração constante a_{\text{subida}}):
s = v_{0}\,\Delta t + \tfrac{1}{2} a_{\text{subida}} \Delta t^{2},
onde v_{0} é a velocidade inicial (ao longo do plano) que queremos achar e s=\dfrac{h}{\sin\theta} é o deslocamento ao longo do plano em \Delta t.
  • Substituindo s e a_{\text{subida}} na equação:
\frac{h}{\sin\theta} = v_{0}\,\Delta t + \tfrac{1}{2}\bigl(-g(\sin\theta+\mu_{c}\cos\theta)\bigr)\Delta t^{2}.
  • Isolando v_{0}:
v_{0} = \frac{h}{\Delta t\,\sin\theta} + \frac{1}{2}g\bigl(\sin\theta+\mu_{c}\cos\theta\bigr)\Delta t.
  • Comentário didático: a primeira parcela \dfrac{h}{\Delta t\sin\theta} é a velocidade média necessária para percorrer a distância correspondente a h no tempo \Delta t se não houvesse aceleração; a segunda parcela corrige essa média pelo efeito da desaceleração devido à gravidade e ao atrito (note que aparece com sinal positivo porque a aceleração é negativa, então -\tfrac12 a\Delta t vira +\tfrac12 g(\dots)\Delta t).

Passo 5

Resumo e observações sobre o resultado do item (a).
  • Fórmula final obtida para o item (a):
v_{0}=\frac{h}{\Delta t\,\sin\theta}+\frac{1}{2}g\bigl(\sin\theta+\mu_{c}\cos\theta\bigr)\Delta t.
  • Observação prática: se \mu_{c}=0 (sem atrito) a expressão reduz-se à forma esperada com apenas a componente da gravidade \sin\theta. A massa m não aparece porque se cancela nas equações (forças proporcionais a m).

Passo 6

Preparação para o item (b): dinâmica do movimento até o ponto mais alto e da descida.
  • No segundo lançamento a bola sobe até um ponto onde sua velocidade é zero (topo) e então desce até a base. Denotar a velocidade inicial desse lançamento por v_{0}^{(2)}.
  • Durante a subida a desaceleração ao longo do plano é a mesma do Passo 2:
a_{\text{subida}} = -g\bigl(\sin\theta+\mu_{c}\cos\theta\bigr).
  • No começo da descida (a partir do repouso no topo) a aceleração ao longo do plano tem agora sentido para baixo; a componente da gravidade puxa para baixo e o atrito, que sempre se opõe ao movimento, agora atua para cima. Portanto a aceleração durante a descida (tomando sentido para baixo como positivo agora) tem módulo
a_{\text{descida}} = g\bigl(\sin\theta-\mu_{c}\cos\theta\bigr).
  • Observação importante: para que a bola desça, precisa ser a_{\text{descida}}>0, ou seja
\sin\theta>\mu_{c}\cos\theta.
Se isso não ocorrer, a bola não desceria sozinha na presença desse atrito (caso degenerado que o enunciado não sugere).

Passo 7

Relacione a distância máxima alcançada com v_{0}^{(2)} e com o tempo de descida t_{d}, e elimine a distância.
  • Distância ao longo do plano até o topo (a partir da base) pode ser escrita de duas formas:
    1. Pela subida (cinemática): usando v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta s entre início e topo (onde v=0):
    0 = \bigl(v_{0}^{(2)}\bigr)^{2} + 2 a_{\text{subida}} s_{\max} \quad\Rightarrow\quad s_{\max} = \frac{\bigl(v_{0}^{(2)}\bigr)^{2}}{2 g(\sin\theta+\mu_{c}\cos\theta)}.
    (Aqui note que a_{\text{subida}}=-g(\sin\theta+\mu_{c}\cos\theta), por isso o sinal fica positivo no denominador.)
    2. Pela descida: partindo do repouso no topo e percorrendo s_{\max} com aceleração a_{\text{descida}} durante tempo t_{d}:
    s_{\max} = \tfrac{1}{2} a_{\text{descida}}\, t_{d}^{2} = \tfrac{1}{2} g\bigl(\sin\theta-\mu_{c}\cos\theta\bigr) t_{d}^{2}.
  • Igualando as duas expressões para s_{\max} (eliminação da distância máxima):
\frac{\bigl(v_{0}^{(2)}\bigr)^{2}}{2 g(\sin\theta+\mu_{c}\cos\theta)} = \tfrac{1}{2} g\bigl(\sin\theta-\mu_{c}\cos\theta\bigr) t_{d}^{2}.

Passo 8

Isolando v_{0}^{(2)} e simplificando para o item (b).
  • Multiplicando ambos os lados e resolvendo:
\bigl(v_{0}^{(2)}\bigr)^{2} = g^{2}\,\bigl(\sin\theta+\mu_{c}\cos\theta\bigr)\bigl(\sin\theta-\mu_{c}\cos\theta\bigr)\,t_{d}^{2}.
  • Reconhecendo o produto como diferença de quadrados:
\bigl(v_{0}^{(2)}\bigr)^{2} = g^{2}\,t_{d}^{2}\,\bigl(\sin^{2}\theta-\mu_{c}^{2}\cos^{2}\theta\bigr).
  • Tomando raiz quadrada (velocidade inicial positiva):
v_{0}^{(2)} = g\,t_{d}\,\sqrt{\sin^{2}\theta-\mu_{c}^{2}\cos^{2}\theta}.
  • Relembrando a condição necessária para que a raiz seja real e a descida ocorra:
\sin^{2}\theta-\mu_{c}^{2}\cos^{2}\theta \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin\theta \ge \mu_{c}\cos\theta.

Resposta

v_{0}=\dfrac{h}{\Delta t\,\sin\theta}+\dfrac{1}{2}g\bigl(\sin\theta+\mu_{c}\cos\theta\bigr)\Delta t
v_{0}^{(2)}=g\,t_{d}\,\sqrt{\sin^{2}\theta-\mu_{c}^{2}\cos^{2}\theta}

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