1. Luz não polarizada de intensidade 20,0 \mathrm{~W} / \mathrm{cm}^{2} incide sobre dois filtros polarizadores. O eixo do primeiro filtro forma um ângulo de 25^{\circ} \mathrm{com} a vertical, e o eixo do segundo filtro forma um ângulo de 60^{\circ} \mathrm{com} a vertical. Qual é a intensidade da luz após passar pelo segundo polarizador?
  2. Três filtros polarizadores são dispostos de modo que o eixo do segundo filtro forme um ângulo de 23^{\circ} eo do terceiro filtro um ângulo de 62^{\circ} em relação ao primeiro. Se luz não polarizada incidir sobre o conjunto, a luz apresentará uma intensidade de 75,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} após passar pelo conjunto.

Passo 1

Problema 3 — O que é pedido e o que temos:
  • Luz não polarizada com intensidade inicial I_0 = 20,0\\ \mathrm{W/cm^{2}} incide sobre dois polarizadores.
  • O eixo do primeiro polarizador forma um ângulo de 25^\circ com a vertical.
  • O eixo do segundo polarizador forma um ângulo de 60^\circ com a vertical.
  • Pergunta: qual é a intensidade da luz após passar pelo segundo polarizador?
Problema 4 — O que é pedido e o que temos:
  • Três polarizadores com eixos fazendo ângulos em relação ao primeiro: o segundo a 23^\circ e o terceiro a 62^\circ.
  • Luz não polarizada incide sobre o conjunto.
  • A intensidade após o terceiro polarizador (saída) é I_{\text{saída}} = 75,0\\ \mathrm{W/m^{2}}í.
  • Pergunta implícita: qual era a intensidade inicial I_0 que incidiu sobre o primeiro polarizador?

Passo 2

Princípios físicos que vamos usar (explicadinho, sem enrolar):
  1. Redução pela primeira lâmina com luz não polarizada: quando luz não polarizada atravessa um polarizador ideal, a intensidade média transmitida é a metade da incidente. Ou seja,
I_{1}=\frac{I_{0}}{2}.
Por que metade? Porque luz não polarizada tem todas as direções de polarização igualmente prováveis; a componente na direção do polarizador tem média de \cos^{2}\theta sobre \theta\in[0,2\pi), e essa média é 1/2.
  1. Lei de Malus (para luz já polarizada): se luz polarizada com intensidade I incide num polarizador cujo eixo faz um ângulo \varphi com a direção de polarização da luz, a intensidade transmitida é
I' = I\cos^{2}\varphi.
Na fórmula, \varphi é o ângulo entre a direção de polarização da luz que chega e o eixo do polarizador de saída. Essa é a ferramenta principal para a segunda e demais lâminas.
Resumo operacional: para um sistema de polarizadores sequenciais, começando com luz não polarizada,
I_{\text{final}}=\frac{I_{0}}{2}\prod \cos^{2}(\text{ângulos relativos entre polarizadores consecutivos}).â
Guarde essa receita — cai direto na prova.

Passo 3

Aplicando ao Problema 3, passo a passo:
  • Primeiro, a luz não polarizada atravessa o primeiro polarizador:
I_{1}=\frac{I_{0}}{2}=\frac{20,0\\ \mathrm{W/cm^{2}}}{2}=10,0\\ \mathrm{W/cm^{2}}.
Expliquei: metade fica transmitida e essa luz agora está polarizada na direção do eixo do primeiro polarizador.
  • Segundo, a luz polarizada (pela primeira lâmina) incide no segundo polarizador. Precisamos do ângulo entre os eixos dos dois polarizadores. Os eixos estão a 25^\circ e 60^\circ da vertical, logo o ângulo relativo entre eles é
\Delta\theta = 60^\circ-25^\circ=35^\circ.
Usamos a lei de Malus:
I_{2}=I_{1}\cos^{2}(35^\circ).
  • Agora calculamos numericamente. Primeiro \cos(35^\circ). Usando uma aproximação trigonométrica:
\cos(35^\circ)\approx 0,819152.
Logo
\cos^{2}(35^\circ)\approx(0,819152)^{2}\approx 0,6700.
Portanto
I_{2}=10,0\\ \mathrm{W/cm^{2}}\times 0,6700=6,700\\ \mathrm{W/cm^{2}}.
Arredondando razoavelmente (três dígitos significativos, combinando com os dados dados),
I_{2}\approx 6,70\\ \mathrm{W/cm^{2}}.

Passo 4

Agora o Problema 4, passo a passo e bem mastigado:
  • Denotemos por I_0 a intensidade incidente (não polarizada) que queremos achar.
  • Após o primeiro polarizador:
I_{1}=\frac{I_{0}}{2}.
  • O segundo polarizador tem seu eixo a 23^\circ em relação ao primeiro. Então pela lei de Malus:
I_{2}=I_{1}\cos^{2}(23^\circ)=\frac{I_{0}}{2}\cos^{2}(23^\circ).
  • O terceiro polarizador está a 62^\circ em relação ao primeiro; portanto o ângulo entre segundo e terceiro é
\phi_{23\to62}=62^\circ-23^\circ=39^\circ.
Aplicando Malus de novo:
I_{3}=I_{2}\cos^{2}(39^\circ)=\frac{I_{0}}{2}\cos^{2}(23^\circ)\cos^{2}(39^\circ).
  • Foi dado que I_{3}=75,0\\ \mathrm{W/m^{2}}. Então isolamos I_0:
I_{0}= \frac{2\,I_{3}}{\cos^{2}(23^\circ)\cos^{2}(39^\circ)}.

Passo 5

Cálculo numérico do Problema 4:
  • Valores trigonométricos aproximados:
\cos(23^\circ)\approx 0,920505\quad\Rightarrow\quad \cos^{2}(23^\circ)\approx 0,84733,
\cos(39^\circ)\approx 0,777146\quad\Rightarrow\quad \cos^{2}(39^\circ)\approx 0,60386.
  • Produto das duas cos²:
\cos^{2}(23^\circ)\cos^{2}(39^\circ)\approx 0,84733\times 0,60386\approx 0,51170.
  • Agora
I_{0}=\frac{2\times 75,0\\ \mathrm{W/m^{2}}}{0,51170}\approx\frac{150,0\\ \mathrm{W/m^{2}}}{0,51170}\approx 293,1\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Arredondando a três algarismos significativos (coerente com os dados):
I_{0}\approx 293\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Resposta

I_{\text{(3)}}=6,70\\ \mathrm{W/cm^{2}}
I_{0\text{(4)}}\approx 293\\ \mathrm{W/m^{2}}

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