1. Três filtros polarizadores são dispostos de modo que o eixo do segundo filtro forme um ângulo de 23^{\circ} eo do terceiro filtro um ângulo de 62^{\circ} em relação ao primeiro. Se luz não polarizada incidir sobre o conjunto, a luz apresentará uma intensidade de 75,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} após passar pelo conjunto.
    Se a intensidade da luz incidente é conhecida, qual será a intensidade da luz após passar pelo conjunto se o segundo polarizador for removido?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Informação: o eixo do segundo polarizador forma um ângulo de \,23^\circ em relação ao primeiro.
  • Informação: o eixo do terceiro polarizador forma um ângulo de \,62^\circ em relação ao primeiro.
  • Informação: luz não polarizada incide sobre os três polarizadores (em sequência) e, após os três, a intensidade é \,75{,}0\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Pergunta: mantendo a mesma intensidade da luz incidente, qual será a intensidade transmitida se o segundo polarizador for removido (isto é, sobram apenas o primeiro e o terceiro)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando bem):
  • Quando luz não polarizada passa por um polarizador ideal, a intensidade transmitida fica pela metade. Se a intensidade incidente for \,I_0, a intensidade após o primeiro polarizador é
I_{\text{após 1}}=\frac{I_0}{2}.ó
Explicação curta: a luz não polarizada tem, em média, componentes igualmente distribuídas em todas as direções; o polarizador seleciona apenas a componente na sua direção, resultando em metade da intensidade média.
  • Lei de Malus (para luz já polarizada que incide em um polarizador): se uma luz polarizada com intensidade I_{\text{in}} incide sobre um polarizador cujo eixo forma um ângulo \theta com a direção de polarização da luz, a intensidade transmitida é
I_{\text{out}} = I_{\text{in}} \cos^2\theta.
Aqui \theta é sempre o ângulo entre a direção de polarização do campo elétrico da luz que chega e o eixo do polarizador.
  • Para polarizadores em sequência, aplicamos primeiro a redução pela metade (se a luz for inicialmente não polarizada no primeiro), depois aplicamos a Lei de Malus para cada polarizador subsequente usando o ângulo entre a polarização que chega e o eixo do polarizador.

Passo 3

Escrever a equação para a situação original (três polarizadores):
  • Após o primeiro polarizador: \,I_1=\dfrac{I_0}{2}.
  • O segundo polarizador tem eixo a \,23^\circ em relação ao primeiro, logo, após o segundo:
I_2 = I_1 \cos^2(23^\circ) = \frac{I_0}{2}\cos^2(23^\circ).
  • O terceiro polarizador tem eixo a \,62^\circ em relação ao primeiro. Portanto o ângulo entre o segundo e o terceiro é
\Delta\theta = 62^\circ - 23^\circ = 39^\circ.
  • Aplicando Malus entre segundo e terceiro:
I_3 = I_2 \cos^2(39^\circ) = \frac{I_0}{2}\cos^2(23^\circ)\cos^2(39^\circ).
  • Sabemos que I_3 = 75{,}0\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2. Assim:
75{,}0 = \frac{I_0}{2}\cos^2(23^\circ)\cos^2(39^\circ).

Passo 4

Isolar I_0 e calcular numericamente (mostrando as contas):
  • Isolando I_0:
I_0 = \frac{150{,}0}{\cos^2(23^\circ)\cos^2(39^\circ)}.
  • Agora calculamos aproximações numéricas (vou mostrar arredondamentos razoáveis):
\cos(23^\circ)\approx 0{,}9205\quad\Rightarrow\quad \cos^2(23^\circ)\approx 0{,}8473,
\cos(39^\circ)\approx 0{,}7771\quad\Rightarrow\quad \cos^2(39^\circ)\approx 0{,}6039.
  • Produto:
\cos^2(23^\circ)\cos^2(39^\circ)\approx 0{,}8473\times 0{,}6039 \approx 0{,}5119.
  • Então
I_0 \approx \frac{150{,}0}{0{,}5119} \approx 292{,}9\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Calcular a intensidade transmitida quando o segundo polarizador for removido:
  • Com o segundo removido, a sequência é: primeiro polarizador (reduz para I_0/2) e em seguida o terceiro com eixo a \,62^\circ em relação ao primeiro. O ângulo entre a luz polarizada após o primeiro e o terceiro é \,62^\circ.
  • Pela Lei de Malus:
I' = \left(\frac{I_0}{2}\right)\cos^2(62^\circ).
  • Podemos usar o valor de I_0 encontrado ou reescrever em termos de 75{,}0. Vou usar I_0\approx 292{,}9\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2. Primeiro calculemos \cos^2(62^\circ):
\cos(62^\circ)\approx 0{,}4694\quad\Rightarrow\quad \cos^2(62^\circ)\approx 0{,}2203.
  • Então
I' \approx \frac{292{,}9}{2}\times 0{,}2203 \approx 146{,}45\times 0{,}2203 \approx 32{,}3\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Resposta

32{,}3\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2

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