Quando a luz se propaga do vácuo ( n=1 ) para um líquido, o ângulo de incidência vale 45^{\circ} e o de refração, 30^{\circ}. Determine o índice de refração absoluto do líquido e a velocidade com que a luz se propaga nele.
Dados: \operatorname{sen} 30^{\circ}=\frac{1}{2} ; \operatorname{sen} 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} ;
velocidade da luz no vácuo c=3 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Ângulo de incidência no vácuo: \theta_1 = 45^\circ.
  • Ângulo de refração no líquido: \theta_2 = 30^\circ.
  • Índice de refração do vácuo: n_1 = 1.
  • Valores trigonométricos fornecidos: \operatorname{sen} 30^\circ = \dfrac{1}{2} e \operatorname{sen} 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Velocidade da luz no vácuo: c = 3\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
O que o problema pede:
  1. Determinar o índice de refração absoluto do líquido (ou seja, n_2).
  2. Determinar a velocidade da luz no líquido (ou seja, v dentro do líquido).

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Ao passar de um meio para outro, a luz obedece à Lei de Snell, que relaciona índices de refração e ângulos:
n_1 \operatorname{sen}\theta_1 = n_2 \operatorname{sen}\theta_2.
Aqui:
  • n_1 é o índice de refração do meio de onde a luz vem (aqui o vácuo).
  • n_2 é o índice de refração do meio para onde a luz vai (o líquido).
  • \theta_1 é o ângulo de incidência medido em relação à normal.
  • \theta_2 é o ângulo de refração medido em relação à normal.
Justificativa curta e intuitiva: Snell descreve como a mudança de velocidade da luz entre meios causa desvio do raio; o produto do índice pelo seno do ângulo é constante na interface.

Passo 3

Calcular o índice de refração do líquido usando Snell. Substituindo n_1=1, \operatorname{sen}\theta_1=\operatorname{sen} 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \operatorname{sen}\theta_2=\operatorname{sen} 30^\circ=\dfrac{1}{2} na lei de Snell:
1\cdot\operatorname{sen} 45^\circ = n_2\cdot\operatorname{sen} 30^\circ
\frac{\sqrt{2}}{2} = n_2\cdot\frac{1}{2}.
Isolando n_2:
n_2 = \frac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{1} = \sqrt{2}.
Portanto o índice de refração absoluto do líquido é \displaystyle n_2 = \sqrt{2} (aproximadamente \,1,414).

Passo 4

Relação entre índice de refração e velocidade da luz (explicação didática):
  • O índice de refração absoluto de um meio em relação ao vácuo é definido por
n = \frac{c}{v},
onde:
  • n é o índice de refração do meio,
  • c é a velocidade da luz no vácuo,
  • v é a velocidade da luz no meio.
    Essa fórmula vem da definição física de índice: quanto maior n, mais lenta a luz no meio.

Passo 5

Calcular a velocidade v no líquido. Usando n_2=\sqrt{2} e c=3\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
v=\frac{c}{n_2}=\frac{3\cdot10^{8}}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{m/s}.
Podemos escrever uma forma alternativa multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2}:
v=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Avaliação numérica: \sqrt{2}\approx1,4142, então
v\approx\frac{3\cdot10^{8}}{1,4142}\approx 2,1213\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente:
v\approx 2,12\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (didática e motivacional):
  • O índice n_2=\sqrt{2} é maior que 1, o que é esperado para um líquido comum.
  • A velocidade encontrada v\approx 2,12\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} é menor que c, também esperado. Tudo faz sentido — ótimo trabalho até aqui, segue firme!

Resposta

n_{\text{líquido}}=\sqrt{2}í
v=\dfrac{3\cdot10^{8}}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{m/s}\approx 2,12\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}

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